Dê o significado de cada um dos seguintes termos:
e. Um conjunto de vetores \left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} ser base de \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos o que significa que um conjunto de vetores \{v_{1},\dots,v_{n}\} seja base de \mathbb{R}^{3}. O conteúdo aqui é o conceito de base em espaços vetoriais, envolvendo geração (span) e independência linear.

Passo 2

Um conjunto de vetores \{v_{1},\dots,v_{n}\}\subset\mathbb{R}^{3} é gerador (ou escala \mathbb{R}^{3}) se todo vetor w\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear deles, isto é:
\forall\,w\in\mathbb{R}^{3},\quad \exists\,\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{R}\text{ tais que }w=\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}.

Passo 3

O conjunto é linearmente independente se nenhuma combinação linear não trivial deles gera o vetor nulo, ou seja:
\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{n}=0.

Passo 4

Como \dim(\mathbb{R}^{3})=3, qualquer base de \mathbb{R}^{3} precisa ter exatamente três vetores. Além disso, se um conjunto gera \mathbb{R}^{3} e é linearmente independente, então cada vetor de \mathbb{R}^{3} admite representação única nessa base.

Resposta

O conjunto \{v_{1},\dots,v_{n}\} é uma base de \mathbb{R}^{3} se, e somente se, satisfaz duas condições:
  1. Gera \mathbb{R}^{3}, isto é, \mathrm{span}\{v_{1},\dots,v_{n}\}=\mathbb{R}^{3}.
  2. É linearmente independente, ou seja, a única combinação linear que dá zero é trivial.
    Além disso, deve ter exatamente três vetores ( n=3), garantindo que cada vetor de \mathbb{R}^{3} tenha representação única nessa base.

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