Dê o significado de cada um dos seguintes termos:
e. Um conjunto de vetores
ser base de
e. Um conjunto de vetores
Passo 1
O enunciado pede para explicarmos o que significa que um conjunto de vetores
seja base de
. O conteúdo aqui é o conceito de base em espaços vetoriais, envolvendo geração (span) e independência linear.
Passo 2
Um conjunto de vetores
é gerador (ou escala
) se todo vetor
pode ser escrito como combinação linear deles, isto é:
Passo 3
O conjunto é linearmente independente se nenhuma combinação linear não trivial deles gera o vetor nulo, ou seja:
Passo 4
Como
, qualquer base de
precisa ter exatamente três vetores. Além disso, se um conjunto gera
e é linearmente independente, então cada vetor de
admite representação única nessa base.
Resposta
O conjunto
é uma base de
se, e somente se, satisfaz duas condições:
- Gera
, isto é, . - É linearmente independente, ou seja, a única combinação linear que dá zero é trivial.
Além disso, deve ter exatamente três vetores (), garantindo que cada vetor de tenha representação única nessa base.