Dado o campo elétrico E=-5 e^-r / a ar(em V / m), em coordenadas cilíndricas, calcule a energia armazenada no volume descrito por r <= 2 a, 0 <= z <= 5 a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a energia armazenada em um campo elétrico específico dentro de um volume definido. Aqui, estamos lidando com campo elétrico em coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia em um campo elétrico usando integração, e também usar as fórmulas que relacionam energia e campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada em um campo elétrico é dada pela integral da densidade de energia sobre o volume considerado. A fórmula da densidade de energia elétrica é:
u = 12 epsilon0 |E|^2
Onde:
  • $ u $ é a densidade de energia,
  • $ \epsilon_0 $ é a permissividade elétrica do vácuo ($ \approx 8,85 \times 10^{-12} , F/m $),
  • $ \vec{E} $ é o campo elétrico.

Passo 3

Nosso campo elétrico é dado por:
E = -5 e^-r / a ar , V/m
O módulo desse campo é simplesmente $ |\vec{E}| = 5 e^{-r / a} $. Vamos usar isso na fórmula da densidade de energia:
|E| = 5 e^-r / a

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa densidade de energia sobre o volume definido por $ r \leq 2a $ e $ 0 \leq z \leq 5a $. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é:
r <= 2a
Então, a energia total $ U $ será:
0 <= z <= 5a

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ r $:
r
Para isso, usamos substituição. Seja $ u = -2r/a $, então $ du = -2/a , dr $, ou $ dr = -a/2 , du $.
Aplicando a substituição:
integral0^2a 252 epsilon0 e^-2r / a cdot r , dr
Após resolver essa integral, obtemos um resultado em termos de $ e^{-2r/a} $.

Passo 6

Depois de integrar em $ r $, integramos em $ \theta $ de $ 0 $ a $ 2\pi $, que simplesmente multiplica o resultado anterior por $ 2\pi $, já que não há dependência de $ \theta $ na função.
Então, temos:
r

Passo 7

Finalmente, integramos em $ z $ de $ 0 $ a $ 5a $, que multiplica o resultado anterior por $ 5a $, já que a função não depende de $ z $.

Passo 8

Juntando tudo, a energia armazenada no volume é:
U = 252 epsilon0 cdot 2pi cdot 5a cdot ( a2 (1 - e^-4) )
Simplificando:
U = 252 epsilon0 cdot 2pi cdot 5a cdot a2 (1 - e^-4) = 25 pi epsilon0 a^22 (1 - e^-4)

Resposta

A energia armazenada no volume é:
U = 25, pi, epsilon0, a^22 (1 - e^-4) , J

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