Dado o campo elétrico
, em coordenadas cilíndricas, calcule a energia armazenada no volume descrito por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a energia armazenada em um campo elétrico específico dentro de um volume definido. Aqui, estamos lidando com campo elétrico em coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia em um campo elétrico usando integração, e também usar as fórmulas que relacionam energia e campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada em um campo elétrico é dada pela integral da densidade de energia sobre o volume considerado. A fórmula da densidade de energia elétrica é:
Onde:
- $ u $ é a densidade de energia,
- $ \epsilon_0 $ é a permissividade elétrica do vácuo ($ \approx 8,85 \times 10^{-12} , F/m $),
- $ \vec{E} $ é o campo elétrico.
Passo 3
Nosso campo elétrico é dado por:
O módulo desse campo é simplesmente $ |\vec{E}| = 5 e^{-r / a} $. Vamos usar isso na fórmula da densidade de energia:
Passo 4
Agora, precisamos integrar essa densidade de energia sobre o volume definido por $ r \leq 2a $ e $ 0 \leq z \leq 5a $. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é:
Então, a energia total $ U $ será:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ r $:
Para isso, usamos substituição. Seja $ u = -2r/a $, então $ du = -2/a , dr $, ou $ dr = -a/2 , du $.
Aplicando a substituição:
Após resolver essa integral, obtemos um resultado em termos de $ e^{-2r/a} $.
Passo 6
Depois de integrar em $ r $, integramos em $ \theta $ de $ 0 $ a $ 2\pi $, que simplesmente multiplica o resultado anterior por $ 2\pi $, já que não há dependência de $ \theta $ na função.
Então, temos:
Passo 7
Finalmente, integramos em $ z $ de $ 0 $ a $ 5a $, que multiplica o resultado anterior por $ 5a $, já que a função não depende de $ z $.
Passo 8
Juntando tudo, a energia armazenada no volume é:
Simplificando:
Resposta
A energia armazenada no volume é: