Dado um campo escalar f: U subset R^3 R e um campo vetorial F: U subset R^3 R, se nabla times F=0, então F é dito ser um campo vetorial irrotacional. Se F for um campo vetorial conservativo, então existe um campo escalar f=f(x, y, z) tal que F=nabla f. Mostre, usando o ex. 18, que F=nabla f é um campo vetorial irrotacional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo F=nabla f um campo vetorial conservativo (ou seja, gradiente de um escalar f(x,y,z)), então ele é irrotacional, isto é, satisfaz nablatimesF=0. O conteúdo envolve definição de gradiente, rotação (curl) e a propriedade de comutatividade das derivadas parciais (Teorema de Clairaut).

Passo 2

Lembrando que o gradiente de f é dado por
nabla f=l(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr)
E que a rotação de um campo F=(F1,F2,F3) em R^3 é definida por
nablatimesF=gr(partial F3partial y-partial F2partial z,;partial F1partial z-partial F3partial x,;partial F2partial x-partial F1partial ygr)

Passo 3

Substituindo F=nabla f no cálculo do curl, temos:
(nablatimes(nabla f))1=partialpartial yl(partial fpartial zr)-partialpartial zl(partial fpartial yr)=partial^2 fpartial ypartial z-partial^2 fpartial zpartial y=0,
(nablatimes(nabla f))2=partialpartial zl(partial fpartial xr)-partialpartial xl(partial fpartial zr)=partial^2 fpartial zpartial x-partial^2 fpartial xpartial z=0,
(nablatimes(nabla f))3=partialpartial xl(partial fpartial yr)-partialpartial yl(partial fpartial xr)=partial^2 fpartial xpartial y-partial^2 fpartial ypartial x=0
Em cada componente usamos o Teorema de Clairaut, que garante partial^2 fpartial apartial b=partial^2 fpartial bpartial a quando f tem derivadas contínuas. Portanto todos os três componentes são zero.

Resposta

Portanto, nablatimes(nabla f)=0, ou seja, todo campo conservativo F=nabla f é irrotacional.

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