Dado um campo escalar
e um campo vetorial
, se
, então
é dito ser um campo vetorial irrotacional. Se
for um campo vetorial conservativo, então existe um campo escalar
tal que
. Mostre, usando o ex. 18, que
é um campo vetorial irrotacional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sendo
um campo vetorial conservativo (ou seja, gradiente de um escalar
), então ele é irrotacional, isto é, satisfaz
. O conteúdo envolve definição de gradiente, rotação (curl) e a propriedade de comutatividade das derivadas parciais (Teorema de Clairaut).
Passo 2
Lembrando que o gradiente de
é dado por
E que a rotação de um campo
em
é definida por
Passo 3
Substituindo
no cálculo do curl, temos:
Em cada componente usamos o Teorema de Clairaut, que garante
quando
tem derivadas contínuas. Portanto todos os três componentes são zero.
Resposta
Portanto,
, ou seja, todo campo conservativo
é irrotacional.