Determine se a equação diferencial dada é separável:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial: dydx = 4y^2 - 3y + 1. O exercício pede para a gente descobrir se essa equação é separável. Isso significa que queremos ver se conseguimos separar os termos que envolvem y dos que envolvem x, de forma que fiquem de lados opostos da equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais separáveis e como manipular a equação para verificar se dá pra separar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma equação diferencial ser separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever dydx como um produto de uma função só de y e uma função só de x, ou seja:
dydx = g(y) cdot h(x)
Dessa forma, a gente pode reorganizar a equação para:
1g(y) dy = h(x) dx
E aí sim, a gente integra os dois lados separadamente.

Passo 3

Agora, olhando para a nossa equação:
dydx = 4y^2 - 3y + 1
Perceba que o lado direito da equação é só uma função de y (não tem x ali). Isso já é um bom sinal de que a equação pode ser separável. Na verdade, quando a derivada dydx depende apenas de y, a gente tem uma equação diferencial autônoma, que geralmente é separável.

Passo 4

Para separar as variáveis, vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com x do outro. Como não tem x na função, fica mais fácil:
dy4y^2 - 3y + 1 = dx
Agora, está no formato separado, onde um lado tem apenas y e o outro, apenas x.

Passo 5

Com isso, concluímos que a equação diferencial dada é, sim, separável, pois conseguimos separar as variáveis y e x em lados opostos da equação.

Resposta

Sim, a equação diferencial dydx = 4y^2 - 3y + 1 é separável.

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