Determine se a equação diferencial dada é separável:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial:
. O exercício pede para a gente descobrir se essa equação é separável. Isso significa que queremos ver se conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
, de forma que fiquem de lados opostos da equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais separáveis e como manipular a equação para verificar se dá pra separar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma equação diferencial ser separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever
como um produto de uma função só de
e uma função só de
, ou seja:
Dessa forma, a gente pode reorganizar a equação para:
E aí sim, a gente integra os dois lados separadamente.
Passo 3
Agora, olhando para a nossa equação:
Perceba que o lado direito da equação é só uma função de
(não tem
ali). Isso já é um bom sinal de que a equação pode ser separável. Na verdade, quando a derivada
depende apenas de
, a gente tem uma equação diferencial autônoma, que geralmente é separável.
Passo 4
Para separar as variáveis, vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro. Como não tem
na função, fica mais fácil:
Agora, está no formato separado, onde um lado tem apenas
e o outro, apenas
.
Passo 5
Com isso, concluímos que a equação diferencial dada é, sim, separável, pois conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Resposta
Sim, a equação diferencial
é separável.