Dado o campo magnético:
B=B(t) k,
aplique a lei de Faraday na forma diferencial e interprete o resultado para Ey=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um campo magnético
vec B = B(t),hat k
e pede pra usar a forma diferencial da lei de Faraday, que é
nablatimes vec E ;=; -partial vec Bpartial t,
Ou seja, a matéria aqui é Eletromagnetismo – Maxwell–Faraday em forma diferencial – e vamos precisar saber como calcular o rotacional (curl) de um campo elétrico em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, explico o que é esse rotacional. Para um vetor genérico
vec E = Ex(x,y,z,t),hat i ;+; Ey(x,y,z,t),hat j ;+; Ez(x,y,z,t),hat k,
o rotacional é
$$
\nabla\times \vec E =
nablatimes vec E = hat i & hat j & hat k [6pt] partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z [3pt] Ex & Ey & Ez , ,
$$
que dá os componentes
(nablatimes vec E)x ;=; partial Ezpartial y ;-;partial Eypartial z,[8pt] (nablatimes vec E)y ;=; partial Expartial z ;-;partial Ezpartial x,[8pt] (nablatimes vec E)k ;=; partial Eypartial x ;-;partial Expartial y

Passo 3

Do outro lado da lei de Faraday temos
-partial vec Bpartial t =-d B(t)dt,hat k
Ou seja, o “lado i” e “lado j” são zero, e só sobra uma componente sobre (nablatimes vec E)x = 0, (nablatimes vec E)y = 0, (nablatimes vec E)k = -dBdt :

Passo 4

Escrevendo cada uma:
  1. Componente partial Ezpartial y-partial Eypartial z=0 :
partial Expartial z-partial Ezpartial x=0
  1. Componente partial Eypartial x-partial Expartial y ;=;-,dBdt :
  1. Componente :

Passo 5

Agora o enunciado ainda pede para “interpretar o resultado para partial Ezpartial y=0, partial Expartial z-partial Ezpartial x=0, ”.
Se a gente impõe underbracepartial (0)partial x=0 ;-;partial Expartial y ;=;-,dBdt Longrightarrow -partial Expartial y=-dBdt Longrightarrow partial Expartial y=dBdt em todo lugar, as duas primeiras equações viram
mas o principal é a componente :

Passo 6

Para fechar, integramos essa relação em Ex(y,t) =integral partial Expartial y,dy =integral dBdt,dy = y,dBdt + C(x,z,t), . Como depende só de , temos
onde é uma “constante” de integração (pode ser qualquer função que não dependa de ).

Resposta

A forma diferencial de Faraday dá
nablatimesvec E=-dBdt,hat k ;;Longrightarrow;; partial Eypartial x-partial Expartial y =-dBdt
Para partial Expartial y=dBdt Longrightarrow Ex(y,t)=y,dBdt+C(x,z,t) , isso vira
Em outras palavras, o campo elétrico induzido circula em torno do eixo e cresce linearmente com .

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