Uma trena de aço com 50,000 m de comprimento é calibrada para uso a 20^circ C. Em um dia quente, a trena é usada para medir a distância entre duas marcas em uma parede, e o valor lido na fita é igual a 35,794 m. Qual é a distância real? Suponha que a fita foi calibrada para uso a 20^circ C.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma trena de aço com 50,000 metros de comprimento, calibrada para uso a 20°C. Em um dia quente, essa trena foi usada para medir a distância entre duas marcas na parede, e a medida obtida foi de 35,794 metros. Queremos descobrir qual é a distância real entre essas marcas, considerando que a temperatura durante a medição foi diferente da temperatura de calibração.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de dilatação térmica, que explica como materiais se expandem ou contraem quando a temperatura muda. Vamos aplicar uma fórmula que relaciona a variação de temperatura com a mudança no comprimento da trena.

Passo 2

A fórmula da dilatação linear é a seguinte:
De
Onde:
  • De é a variação no comprimento.
  • alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (no caso, o aço).
  • L0 é o comprimento original da trena.
  • De é a variação de temperatura.
Essa fórmula nos ajuda a calcular quanto a trena se expandiu ou contraiu devido à mudança de temperatura.

Passo 3

Queremos encontrar a distância real ( Dreal) entre as duas marcas na parede. Sabemos que a trena foi usada a uma temperatura diferente da calibrada, então a medida obtida na trena ( Dmedida) está afetada pela dilatação térmica.
A relação entre a distância medida e a distância real é dada por:
Dreal = Dmedida cdot (1 + alpha cdot De
Para usar essa fórmula, precisamos saber o coeficiente de dilatação linear do aço ( alpha) e a variação de temperatura ( De).

Passo 4

O coeficiente de dilatação linear para o aço é aproximadamente:
alpha = 12 times 10^-6 , °C^-1
Agora, precisamos determinar a variação de temperatura ( De). A trena foi calibrada a 20°C e usada em um dia “quente”. Vamos supor que a temperatura durante a medição foi de 40°C (essa informação pode variar conforme o problema, mas vamos usar 40°C para ilustrar).
Então,
De

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula para encontrar a distância real:
Dreal = 35,794 , m cdot (1 + 12 times 10^-6 , °C^-1 cdot 20°C)
Calculando dentro dos parênteses primeiro:
1 + 12 times 10^-6 times 20 = 1 + 0,00024 = 1,00024
Então,
Dreal = 35,794 , m cdot 1,00024 approx 35,805 , m

Resposta

A distância real entre as duas marcas na parede é aproximadamente 35,805 metros.

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