Dado \mathbf{H}=\left(3 r^{2} / \operatorname{sen} \theta\right) \mathbf{a}_{\theta}+54 r \cos \theta \mathbf{a}_{\varphi} \mathbf{A} / \mathbf{m} no espaço livre: (a) Calcule a corrente total na direção \mathbf{a}_{\theta} que atravessa a superfície cônica \theta=20^{\circ}, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi, 0 \leq r \leq 5, por qualquer um dos lados do teorema de Stokes de sua preferência. (b) Confira o resultado utilizando o outro lado do teorema de Stokes.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético (campo \mathbf{H}, unidades \mathrm{A}/\mathrm{m}):
\mathbf{H}=\left(\frac{3 r^{2}}{\operatorname{sen}\theta}\right)\mathbf{a}_{\theta}+54 r\cos\theta\,\mathbf{a}_{\varphi}.
A superfície considerada é o cone de equação \theta=20^\circ com 0\le\varphi\le2\pi e 0\le r\le5. As perguntas são:
(a) Calcular a corrente total que atravessa essa superfície cônica (isto é, a corrente livre enquadrada pela borda do cone) usando um dos lados do teorema de Stokes.
(b) Verificar o resultado usando o outro lado do teorema de Stokes.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O vetor \mathbf{H} está dado em coordenadas esféricas com componentes H_r=0, H_\theta=\dfrac{3r^2}{\operatorname{sen}\theta}, H_\varphi=54 r\cos\theta.
  • A borda \mathcal{C} da superfície é a curva de interseção do cone com r=5, ou seja r=5,\\ \theta=20^\circ,\\\ 0\le\varphi\le2\pi.
  • Unidades: \mathbf{H} em \mathrm{A}/\mathrm{m}, comprimento em \mathrm{m} → o resultado da lei de Ampère (Stokes) será em amperes \mathrm{A}.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Stokes (na forma usada em magnetostática):
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S}=\oint_{\partial S}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{livre}},
onde I_{\text{livre}} é a corrente livre total atravessando a superfície S, \partial S é a curva borda orientada conforme a regra da mão direita relativa à orientação da superfície. Vou resolver (a) primeiro usando a forma de contorno (a integral de linha) porque a borda é simples: r= constante, \theta= constante, \varphi varia.
Para a curva \mathcal{C}: r=5,\\ \theta=20^\circ,\\ \varphi\in[0,2\pi]. Em coordenadas esféricas o diferencial de comprimento ao longo de \varphi (com r,\theta constantes) é
d\mathbf{l}=r\operatorname{sen}\theta\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi},
pois um pequeno deslocamento em \varphi descreve um arco de raio r\operatorname{sen}\theta.

Passo 3

A contribuição de \mathbf{H} ao longo da curva vem do componente \mathbf{a}_{\varphi}. Então
\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=H_{\varphi}\,r\operatorname{sen}\theta\,d\varphi.
Substituindo H_{\varphi}=54 r\cos\theta obtemos
\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=54 r\cos\theta\cdot r\operatorname{sen}\theta\,d\varphi=54 r^{2}\cos\theta\operatorname{sen}\theta\,d\varphi.
Agora integramos \varphi de 0 a 2\pi com r=5 e \theta=20^\circ:
I=\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\int_{0}^{2\pi}54(5)^{2}\cos\theta\operatorname{sen}\theta\,d\varphi.

Passo 4

Realizando a integral em \varphi:
I=54\cdot25\cdot\cos\theta\operatorname{sen}\theta\cdot\int_{0}^{2\pi}d\varphi=1350\cdot 2\pi\cos\theta\operatorname{sen}\theta=2700\pi\cos\theta\operatorname{sen}\theta.
Usando a identidade \cos\theta\operatorname{sen}\theta=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2\theta) e \theta=20^\circ dá a expressão exata conveniente:
I=1350\pi\operatorname{sen}(40^\circ).
Se quiser uma aproximação numérica, \operatorname{sen}(40^\circ)\approx0{,}642787, então
I\approx 1350\pi\cdot0{,}642787\approx 2{,}726\times10^{3}\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Agora fazemos (b): verificar usando a outra face do teorema de Stokes, ou seja calcular \iint_{S}(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S}. Primeiro precisamos do rotacional \nabla\times\mathbf{H} em coordenadas esféricas. A fórmula útil (componentes) é:
(\nabla\times\mathbf{H})_{r}=\frac{1}{r\operatorname{sen}\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}(\operatorname{sen}\theta\,H_{\varphi})-\frac{\partial H_{\theta}}{\partial\varphi}\right],
(\nabla\times\mathbf{H})_{\theta}=\frac{1}{r}\left[\frac{1}{\operatorname{sen}\theta}\frac{\partial H_{r}}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial r}(r H_{\varphi})\right],
(\nabla\times\mathbf{H})_{\varphi}=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(r H_{\theta})-\frac{\partial H_{r}}{\partial\theta}\right].
Aqui H_{r}=0, H_{\theta}=\dfrac{3r^{2}}{\operatorname{sen}\theta}, H_{\varphi}=54 r\cos\theta. Vamos calcular a componente \theta do rotacional, porque a superfície \theta= constante tem vetor normal na direção \mathbf{a}_{\theta} (até sinal) e a integral usará (\nabla\times\mathbf{H})_{\theta}.

Passo 6

Calculemos (\nabla\times\mathbf{H})_{\theta}. Com H_{r}=0 obtemos
(\nabla\times\mathbf{H})_{\theta}=-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r H_{\varphi}).
Como r H_{\varphi}=r\cdot 54 r\cos\theta=54 r^{2}\cos\theta, tem-se
\frac{\partial}{\partial r}(r H_{\varphi})=108 r\cos\theta,
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(\nabla\times\mathbf{H})_{\theta}=-\frac{1}{r}\cdot 108 r\cos\theta=-108\cos\theta.
Agora o elemento de superfície para \theta= constante: parametrizamos por r e \varphi,
\mathbf{R}(r,\varphi)=r\operatorname{sen}\theta\cos\varphi\,\mathbf{i}+r\operatorname{sen}\theta\sin\varphi\,\mathbf{j}+r\cos\theta\,\mathbf{k},
com \theta fixo. Calculando \partial\mathbf{R}/\partial r=\mathbf{a}_{r} e \partial\mathbf{R}/\partial\varphi=r\operatorname{sen}\theta\,\mathbf{a}_{\varphi}, temos
d\mathbf{S}=(\partial_{r}\mathbf{R}\times\partial_{\varphi}\mathbf{R})\,dr\,d\varphi=-r\operatorname{sen}\theta\,\mathbf{a}_{\theta}\,dr\,d\varphi.
(O sinal depende da orientação; aqui tomamos a orientação que corresponde a \varphi aumentando como na integral de linha usada antes, garantindo consistência.)
Portanto o integrando é
(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S}=(\nabla\times\mathbf{H})_{\theta}\cdot(-r\operatorname{sen}\theta)\,dr\,d\varphi.

Passo 7

Substituindo (\nabla\times\mathbf{H})_{\theta}=-108\cos\theta obtemos
(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S}=(-108\cos\theta)\cdot(-r\operatorname{sen}\theta)\,dr\,d\varphi=108\cos\theta\operatorname{sen}\theta\;r\,dr\,d\varphi.
Agora integramos r de 0 a 5 e \varphi de 0 a 2\pi:
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5}108\cos\theta\operatorname{sen}\theta\;r\,dr\,d\varphi =108\cos\theta\operatorname{sen}\theta\cdot 2\pi\cdot\int_{0}^{5}r\,dr.
A integral \int_{0}^{5}r\,dr=\dfrac{5^{2}}{2}=\dfrac{25}{2}. Assim
I=108\cos\theta\operatorname{sen}\theta\cdot 2\pi\cdot\frac{25}{2}=108\cdot25\pi\cos\theta\operatorname{sen}\theta=2700\pi\cos\theta\operatorname{sen}\theta,
o mesmo valor obtido pela integral de linha.

Passo 8

Concluímos que as duas formas do teorema de Stokes (integral de linha ao longo da borda e integral de superfície do rotacional) dão o mesmo resultado; portanto a corrente total atravessando o cone é dada por I=2700\pi\cos\theta\operatorname{sen}\theta com \theta=20^\circ, equivalente a I=1350\pi\operatorname{sen}(40^\circ), aproximadamente 2{,}726\times10^{3}\\ \mathrm{A}.

Resposta

(a) I=2700\pi\cos(20^\circ)\operatorname{sen}(20^\circ)=1350\pi\operatorname{sen}(40^\circ)\approx2{,}726\times10^{3}\\ \mathrm{A}\n
(b) Verificação: usando \iint_{S}(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S} obtém-se o mesmo valor I=2700\pi\cos(20^\circ)\operatorname{sen}(20^\circ)=1350\pi\operatorname{sen}(40^\circ)\approx2{,}726\times10^{3}\\ \mathrm{A}.

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