Dado
no espaço livre: (a) Calcule a corrente total na direção
que atravessa a superfície cônica
, por qualquer um dos lados do teorema de Stokes de sua preferência. (b) Confira o resultado utilizando o outro lado do teorema de Stokes.
Passo 1
O enunciado dá o campo magnético (campo
, unidades
):
A superfície considerada é o cone de equação
com
e
. As perguntas são:
(a) Calcular a corrente total que atravessa essa superfície cônica (isto é, a corrente livre enquadrada pela borda do cone) usando um dos lados do teorema de Stokes.
(b) Verificar o resultado usando o outro lado do teorema de Stokes.
(a) Calcular a corrente total que atravessa essa superfície cônica (isto é, a corrente livre enquadrada pela borda do cone) usando um dos lados do teorema de Stokes.
(b) Verificar o resultado usando o outro lado do teorema de Stokes.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O vetor
está dado em coordenadas esféricas com componentes , , . - A borda
da superfície é a curva de interseção do cone com , ou seja . - Unidades:
em , comprimento em → o resultado da lei de Ampère (Stokes) será em amperes .
Passo 2
Enunciado do Teorema de Stokes (na forma usada em magnetostática):
onde
é a corrente livre total atravessando a superfície
,
é a curva borda orientada conforme a regra da mão direita relativa à orientação da superfície. Vou resolver (a) primeiro usando a forma de contorno (a integral de linha) porque a borda é simples:
constante,
constante,
varia.
Para a curva
:
. Em coordenadas esféricas o diferencial de comprimento ao longo de
(com
constantes) é
pois um pequeno deslocamento em
descreve um arco de raio
.
Passo 3
A contribuição de
ao longo da curva vem do componente
. Então
Substituindo
obtemos
Agora integramos
de
a
com
e
:
Passo 4
Realizando a integral em
:
Usando a identidade
e
dá a expressão exata conveniente:
Se quiser uma aproximação numérica,
, então
Passo 5
Agora fazemos (b): verificar usando a outra face do teorema de Stokes, ou seja calcular
. Primeiro precisamos do rotacional
em coordenadas esféricas. A fórmula útil (componentes) é:
Aqui
,
,
. Vamos calcular a componente
do rotacional, porque a superfície
constante tem vetor normal na direção
(até sinal) e a integral usará
.
Passo 6
Calculemos
. Com
obtemos
Como
, tem-se
logo
Agora o elemento de superfície para
constante: parametrizamos por
e
,
com
fixo. Calculando
e
, temos
(O sinal depende da orientação; aqui tomamos a orientação que corresponde a
aumentando como na integral de linha usada antes, garantindo consistência.)
Portanto o integrando é
Passo 7
Substituindo
obtemos
Agora integramos
de
a
e
de
a
:
A integral
. Assim
o mesmo valor obtido pela integral de linha.
Passo 8
Concluímos que as duas formas do teorema de Stokes (integral de linha ao longo da borda e integral de superfície do rotacional) dão o mesmo resultado; portanto a corrente total atravessando o cone é dada por
com
, equivalente a
, aproximadamente
.
Resposta
(a)
\n
(b) Verificação: usando obtém-se o mesmo valor
.
(b) Verificação: usando