Dado o campo potencial , e o ponto P(-4,3,6), encontre:
V(x, y, z)=2 x^2 y-5 z
o módulo de E .

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos um potencial elétrico
V(x,y,z)=2x^2y-5z
e nos pede pra achar o módulo do campo elétrico E no ponto P(-4,3,6).
Conteúdo: potencial elétrico, campo elétrico e gradiente (derivadas parciais).
O que a gente vai precisar:
- Saber que E=-nabla V.
- Calcular as derivadas parciais de V (pra formar nabla V).
- Avaliar essas derivadas no ponto P.
- Calcular o módulo (norma) do vetor resultante.

Passo 2

Vamos lembrar o gradiente de V:
nabla V=l(partial Vpartial x,;partial Vpartial y,;partial Vpartial zr)
Então derivamos cada componente:
1) partial Vpartial x = partialpartial x(2x^2y-5z) = 4xy (porque 2x^2y em x 4xy, e -5z é constante em x).
2) partial Vpartial y = partialpartial y(2x^2y-5z) = 2x^2 (só o y varia aí).
3) partial Vpartial z = partialpartial z(2x^2y-5z) = -5.
Logo
nabla V=(4xy,;2x^2,;-5)
E como E=-nabla V, temos
E = (-4xy,;-2x^2,;5)

Passo 3

Agora a gente avalia E no ponto P(-4,3,6).
Substituindo x=-4 e y=3:
  • 4xy = 4cdot(-4)cdot3 = -48, logo -4xy = -(-48)=48.
  • 2x^2 = 2cdot(-4)^2 = 2cdot16 = 32, logo -2x^2 = -32.
  • A componente em z já é constante 5.
Então em P:
E(P) = (48,,-32,,5)

Passo 4

Pra achar o módulo de E(P), usamos a fórmula da norma de um vetor em R^3:
| E| = raizEx^2 + Ey^2 + Ez^2
Substituindo:
| E(P)| = raiz48^2 + (-32)^2 + 5^2 = raiz2304 + 1024 + 25 = raiz3353

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto P(-4,3,6) é
boxed| E(P)| = raiz3353,

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