Dado o campo de vetores , considere a superfície que é a parte do paraboloide , com , orientada com campo normal unitário , apontando para baixo.
Calcule a integral do item anterior usando o Teorema de Stokes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial . A superfície é parte de um paraboloide definido por , limitado entre e . Além disso, a orientação da superfície é para baixo, ou seja, o vetor normal unitário aponta para baixo.
O que precisamos fazer é calcular a integral sobre essa superfície usando o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar entender:
Teorema de Stokes: Relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo da borda de uma superfície com a integral da rotacional desse campo vetorial sobre a própria superfície.
Rotacional (Curl): Uma operação que, aplicada a um campo vetorial, nos dá uma medida da tendência de rotação em torno de cada ponto.
Parametrização da superfície: Para facilitar os cálculos, precisamos parametrizar a superfície .
Orientação da superfície: Como a orientação é para baixo, isso afetará o sinal do vetor normal usado na integral.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Stokes diz:
Ou seja, a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda de é igual à integral da rotacional de sobre a superfície , onde é o vetor normal à superfície.
No nosso caso, queremos calcular a integral sobre a superfície , então vamos focar na parte da direita da equação:
Passo 3
Vamos calcular a rotacional de . A rotacional, ou curl, de um campo vetorial é dado por:
No nosso caso:
Calculando cada componente:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a superfície . Como é parte do paraboloide entre e , podemos usar coordenadas polares para facilitar:
Onde varia de a (já que ) e varia de a .
Dessa forma, a parametrização vetorial fica:
Passo 5
Vamos calcular os vetores tangentes à superfície para encontrar o vetor normal .
Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Agora, o vetor normal é dado pelo produto vetorial dessas derivadas:
Calculando o produto vetorial:
= i ( sin theta cdot 0 - 2 r cdot r cos theta ) - j ( cos theta cdot 0 - 2 r cdot (- r sin theta) ) + k ( cos theta cdot r cos theta - sin theta cdot (- r sin theta) )
Simplificando:
= i (-2 r^2 cos theta) - j (2 r^2 sin theta) + k (r cos^2 theta + r sin^2 theta)
= -2 r^2 cos theta,i - 2 r^2 sin theta,j + r (cos^2 theta + sin^2 theta),k
Como cos^2 theta + sin^2 theta = 1:
n = -2 r^2 cos theta,i - 2 r^2 sin theta,j + r,k
Passo 6
Precisamos que o vetor normal seja orientado para baixo. Atualmente, o componente k é positiva. Para apontar para baixo, devemos inverter o sinal de todos os componentes:
npara baixo = 2 r^2 cos theta,i + 2 r^2 sin theta,j - r,k
Agora, vamos normalizar n para obter o vetor normal unitário. O comprimento de n é: