Dado o campo de vetores F(x, y, z)=y i+x z j+z^2 k, considere a superfície S que é a parte do paraboloide z=x^2+doty^2, com 0 <= z <= 1, orientada com campo normal unitário n, apontando para baixo.
Calcule a integral do item anterior usando o Teorema de Stokes.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y, z) = y,i + x z,j + z^2,k. A superfície S é parte de um paraboloide definido por z = x^2 + y^2, limitado entre z = 0 e z = 1. Além disso, a orientação da superfície é para baixo, ou seja, o vetor normal unitário n aponta para baixo.
O que precisamos fazer é calcular a integral sobre essa superfície usando o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar entender:
  1. Teorema de Stokes: Relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo da borda de uma superfície com a integral da rotacional desse campo vetorial sobre a própria superfície.
  2. Rotacional (Curl): Uma operação que, aplicada a um campo vetorial, nos dá uma medida da tendência de rotação em torno de cada ponto.
  3. Parametrização da superfície: Para facilitar os cálculos, precisamos parametrizar a superfície S.
  4. Orientação da superfície: Como a orientação é para baixo, isso afetará o sinal do vetor normal usado na integral.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Stokes diz:
ointpartial S F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS
Ou seja, a integral de linha do campo vetorial F ao longo da borda de S é igual à integral da rotacional de F sobre a superfície S, onde n é o vetor normal à superfície.
No nosso caso, queremos calcular a integral sobre a superfície S, então vamos focar na parte da direita da equação:
integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS

Passo 3

Vamos calcular a rotacional de F. A rotacional, ou curl, de um campo vetorial F = P,i + Q,j + R,k é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
No nosso caso:
P = y, Q = x z, R = z^2
Calculando cada componente:
partial Rpartial y = partial z^2partial y = 0
partial Qpartial z = partial (x z)partial z = x
partial Ppartial z = partial ypartial z = 0
partial Rpartial x = partial z^2partial x = 0
partial Qpartial x = partial (x z)partial x = z
partial Ppartial y = partial ypartial y = 1
Então,
nabla times F = (0 - x),i + (0 - 0),j + (z - 1),k = -x,i + 0,j + (z - 1),k

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície S. Como S é parte do paraboloide z = x^2 + y^2 entre z = 0 e z = 1, podemos usar coordenadas polares para facilitar:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = r^2
Onde r varia de 0 a 1 (já que z <= 1) e theta varia de 0 a 2pi.
Dessa forma, a parametrização vetorial fica:
r(r, theta) = r cos theta,i + r sin theta,j + r^2,k

Passo 5

Vamos calcular os vetores tangentes à superfície para encontrar o vetor normal n.
Calculamos as derivadas parciais de r(r, theta) em relação a r e theta:
partial rpartial r = cos theta,i + sin theta,j + 2 r,k
partial rpartial theta = -r sin theta,i + r cos theta,j + 0,k
Agora, o vetor normal n é dado pelo produto vetorial dessas derivadas:
n = partial rpartial r times partial rpartial theta
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k cos theta & sin theta & 2 r - r sin theta & r cos theta & 0
= i ( sin theta cdot 0 - 2 r cdot r cos theta ) - j ( cos theta cdot 0 - 2 r cdot (- r sin theta) ) + k ( cos theta cdot r cos theta - sin theta cdot (- r sin theta) )
Simplificando:
= i (-2 r^2 cos theta) - j (2 r^2 sin theta) + k (r cos^2 theta + r sin^2 theta)
= -2 r^2 cos theta,i - 2 r^2 sin theta,j + r (cos^2 theta + sin^2 theta),k
Como cos^2 theta + sin^2 theta = 1:
n = -2 r^2 cos theta,i - 2 r^2 sin theta,j + r,k

Passo 6

Precisamos que o vetor normal seja orientado para baixo. Atualmente, o componente k é positiva. Para apontar para baixo, devemos inverter o sinal de todos os componentes:
npara baixo = 2 r^2 cos theta,i + 2 r^2 sin theta,j - r,k
Agora, vamos normalizar n para obter o vetor normal unitário. O comprimento de n é:
|n| = raiz(2 r^2 cos theta)^2 + (2 r^2 sin theta)^2 + (- r)^2 = raiz4 r^4 (cos^2 theta + sin^2 theta) + r^2 = raiz4 r^4 + r^2 = r raiz4 r^2 + 1
Portanto, o vetor normal unitário n é:

Passo 7

Agora, vamos montar a integral:
integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS
Sabemos que:
nabla times F = -x,i + 0,j + (z - 1),k
Substituindo x = r cos theta e z = r^2:
nabla times F = -r cos theta,i + 0,j + (r^2 - 1),k
Agora, o produto escalar (nabla times F) cdot n é:
(-r cos theta)( 2 r cos thetaraiz4 r^2 + 1 ) + 0 cdot ( 2 r sin thetaraiz4 r^2 + 1 ) + (r^2 - 1) ( -1raiz4 r^2 + 1 )
Simplificando:
= -2 r^2 cos^2 thetaraiz4 r^2 + 1 + -(r^2 - 1)raiz4 r^2 + 1 = -2 r^2 cos^2 theta - r^2 + 1 raiz4 r^2 + 1

Passo 8

Agora, precisamos multiplicar esse resultado pela área diferencial dS. Em coordenadas polares, dS é dado por:
dS = |partial rpartial r times partial rpartial theta|, dr, dtheta = raiz4 r^4 + r^2, dr, dtheta = r raiz4 r^2 + 1, dr, dtheta
Portanto, a integral fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS = integral0^2pi integral0^1 -2 r^2 cos^2 theta - r^2 + 1 raiz4 r^2 + 1 cdot r raiz4 r^2 + 1, dr, dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi integral0^1 (-2 r^3 cos^2 theta - r^3 + r), dr, dtheta

Passo 9

Vamos separar a integral em três partes:
= integral0^2pi [ integral0^1 -2 r^3 cos^2 theta, dr + integral0^1 - r^3, dr + integral0^1 r, dr ] dtheta
Calculando cada integral interna:
  1. integral0^1 -2 r^3 cos^2 theta, dr = -2 cos^2 theta integral0^1 r^3, dr = -2 cos^2 theta [ r^44 ]0^1 = -2 cos^2 theta cdot 14 = -12 cos^2 theta
  2. integral0^1 - r^3, dr = - [ r^44 ]0^1 = - 14
  3. integral0^1 r, dr = [ r^22 ]0^1 = 12
Agora, substituindo de volta:
= integral0^2pi ( -12 cos^2 theta - 14 + 12 ) dtheta = integral0^2pi ( -12 cos^2 theta + 14 ) dtheta

Passo 10

Vamos calcular a integral em theta:
integral0^2pi -12 cos^2 theta, dtheta + integral0^2pi 14, dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi cos^2 theta, dtheta = pi
E:
integral0^2pi 14, dtheta = 14 cdot 2pi = pi2
Portanto:
- 12 cdot pi + pi2 = -pi2 + pi2 = 0

Resposta

A integral calculada usando o Teorema de Stokes é igual a 0.

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