Qual das seguintes integrais determina o volume do sólido gerado quando a área delimitada pelas curvas
e
e pelas retas
e
é rotacionada em torno do eixo
.
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A gente precisa encontrar qual das integrais apresentadas determina o volume de um sólido que é formado quando a área entre as curvas $ y = \cos x $ e $ y = \sin x $, limitada pelas retas $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $, é girada ao redor do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a diferença dos quadrados das funções que delimitam a área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as curvas $ y = \cos x $ e $ y = \sin x $ se encontram no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = \frac{\pi}{2} $. Isso acontece quando $ \cos x = \sin x $. Resolvendo:
Então, as curvas se cruzam em $ x = \frac{\pi}{4} $.
Passo 3
Agora, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes:
- De $ x = 0 $ até $ x = \frac{\pi}{4} $, onde $ \cos x $ está acima de $ \sin x $.
- De $ x = \frac{\pi}{4} $ até $ x = \frac{\pi}{2} $, onde $ \sin x $ está acima de $ \cos x $.
Para cada intervalo, usamos a fórmula do volume por discos:
Onde $ f(x) $ é a função de cima e $ g(x) $ é a de baixo.
Passo 4
Aplicando isso aos nossos intervalos:
- De $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $:
- De $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{\pi}{2} $:
Então, somando os dois volumes, a integral que determina o volume total é:
Resposta
A integral correta é: