Qual das seguintes integrais determina o volume do sólido gerado quando a área delimitada pelas curvas y=cos x e y=sen x e pelas retas x=0 e x=pi2 é rotacionada em torno do eixo x.
Escolha uma opção:
pi integral0^pi4(cos ^2 x-sen^2 x) d x+pi integralpi4^pi2(sen^2 x-cos ^2 x) d x
Nenhuma das demais alternativas
pi integral0^pi4(cos ^2 x-sen^2 x) d x-pi integralpi4^pi2(sen^2 x-cos ^2 x) d x
pi integral0^pi4(cos x-sen x) d x-pi integralpi4^pi2(sen x-cos x) d x
pi integral0^pi4(cos x+sen x) d x+pi integralpi4^pi2(sen x+cos x) d x
pi integral0^pi4(cos x-sen x) d x+pi integralpi4^pi2(sen x-cos x) d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A gente precisa encontrar qual das integrais apresentadas determina o volume de um sólido que é formado quando a área entre as curvas $ y = \cos x $ e $ y = \sin x $, limitada pelas retas $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $, é girada ao redor do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a diferença dos quadrados das funções que delimitam a área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as curvas $ y = \cos x $ e $ y = \sin x $ se encontram no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = \frac{\pi}{2} $. Isso acontece quando $ \cos x = \sin x $. Resolvendo:
y = cos x
Então, as curvas se cruzam em $ x = \frac{\pi}{4} $.

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes:
  1. De $ x = 0 $ até $ x = \frac{\pi}{4} $, onde $ \cos x $ está acima de $ \sin x $.
  2. De $ x = \frac{\pi}{4} $ até $ x = \frac{\pi}{2} $, onde $ \sin x $ está acima de $ \cos x $.
Para cada intervalo, usamos a fórmula do volume por discos:
x = 0
Onde $ f(x) $ é a função de cima e $ g(x) $ é a de baixo.

Passo 4

Aplicando isso aos nossos intervalos:
  1. De $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $:
0
  1. De $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{\pi}{2} $:
pi4
Então, somando os dois volumes, a integral que determina o volume total é:
pi integral0^pi4 ( cos^2 x - sin^2 x ) dx

Resposta

A integral correta é:
pi integral0^pi4 ( cos^2 x - sin^2 x ) dx + pi integralpi4^pi2 ( sin^2 x - cos^2 x ) dx

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