Dado o campo de vetores , considere a superfície que é a parte do paraboloide que se encontra acima do plano , orientada com campo normal unitário apontando para cima.
Calcule diretamente a integral , onde C é a fronteira de S.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um campo de vetores definido por F(x, y, z) = -2y,i + y,j + 3x,k. A superfície S é parte do paraboloide z = 5 - x^2 - y^2 que fica acima do plano xy, e a orientação é com o vetor normal apontando para cima. O que precisamos fazer é calcular a integral de linha ointC F cdot d r ao longo da curva C, que é a fronteira de S.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha, parametrizações de curvas e como aplicar essas no campo de vetores dado. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva C, que é a fronteira da superfície S. Como S é a parte do paraboloide z = 5 - x^2 - y^2 acima do plano xy, a fronteira C ocorre quando z = 0. Então, temos:
0 = 5 - x^2 - y^2 Rightarrow x^2 + y^2 = 5
Isso descreve um círculo com raio raiz5 no plano xy.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva C. Uma forma comum de parametrizar um círculo no plano xy é usando coordenadas polares. Vamos definir:
x = raiz5 cos theta y = raiz5 sin theta z = 0
onde theta varia de 0 a 2pi para traçar todo o círculo.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a expressão para o diferencial de posição d r. Derivando as expressões de x, y e z em relação a theta, temos:
dxdtheta = -raiz5 sin theta dydtheta = raiz5 cos theta dzdtheta = 0
Portanto,
d r = ( -raiz5 sin theta , i + raiz5 cos theta , j + 0 , k ) dtheta
Passo 5
Agora, vamos substituir as parametrizações de x, y, e z no campo de vetores F:
F(x, y, z) = -2y,i + y,j + 3x,k F(theta) = -2raiz5 sin theta,i + raiz5 sin theta,j + 3raiz5 cos theta,k
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot d r:
F cdot d r = (-2raiz5 sin theta)(-raiz5 sin theta) + (raiz5 sin theta)(raiz5 cos theta) + (3raiz5 cos theta)(0) = 10 sin^2 theta + 5 sin theta cos theta
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão de theta = 0 a theta = 2pi:
ointC F cdot d r = integral0^2pi (10 sin^2 theta + 5 sin theta cos theta ) dtheta
Passo 8
Vamos resolver a integral separadamente:
Para integral0^2pi 10 sin^2 theta , dtheta, lembramos que integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi, então:
10 times pi = 10pi
Para integral0^2pi 5 sin theta cos theta , dtheta, sabemos que essa integral é zero, porque a função é ímpar em relação a pi.