Dado o Campo Vetorial F=x^2 i+y^2 j+4 k, mais as informações acima, faça o que se pede:
O campo é conservativo? Justifique. Se sim, informe a função potencial que gera este campo gradiente.

Passo 1

Temos um campo vetorial F(x,y,z)=x^2,i+y^2,j+4,k. A tarefa é verificar se ele é conservativo (conteúdo: campos conservativos e condição de rotacional nulo) e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial phi tal que F=nablaphi. Vamos usar a condição nablatimesF=0 e depois integrar as componentes.

Passo 2

Em ℝ³, o campo é definido em um domínio simplesmente conexo, então basta checar se o rotacional é zero. Calculamos
nablatimesF= gl(partialpartial y(4)-partialpartial z(y^2), ;partialpartial z(x^2)-partialpartial x(4), ;partialpartial x(y^2)-partialpartial y(x^2)gr) =(0,0,0)
Logo nablatimesF=0 e o campo é conservativo.

Passo 3

Agora determinamos a função potencial integrando componente a componente. Integramos primeiro em x:
partialphipartial x=x^2 Longrightarrow phi(x,y,z)=x^33+g(y,z)
Como partialphi/partial y=y^2 temos
partial gpartial y=y^2 Longrightarrow g(y,z)=y^33+h(z)

Passo 4

Por fim, partialphi/partial z=4
h'(z)=4 Longrightarrow h(z)=4z+C,
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phi(x,y,z)=x^33+y^33+4z+C

Resposta

O campo é conservativo. Uma função potencial é
phi(x,y,z)=x^33+y^33+4z+C

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