Dado o Campo Vetorial
, mais as informações acima, faça o que se pede:
O campo é conservativo? Justifique. Se sim, informe a função potencial que gera este campo gradiente.
O campo é conservativo? Justifique. Se sim, informe a função potencial que gera este campo gradiente.
Passo 1
Temos um campo vetorial
. A tarefa é verificar se ele é conservativo (conteúdo: campos conservativos e condição de rotacional nulo) e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial
tal que
. Vamos usar a condição
e depois integrar as componentes.
Passo 2
Em ℝ³, o campo é definido em um domínio simplesmente conexo, então basta checar se o rotacional é zero. Calculamos
Logo
e o campo é conservativo.
Passo 3
Agora determinamos a função potencial integrando componente a componente. Integramos primeiro em
:
Como
temos
Passo 4
Por fim,
dá
logo
Resposta
O campo é conservativo. Uma função potencial é