Exercício 5 Determine a equação do plano tangente ao elipsoide (x-1)^22+(y-2)^22+(z+1)^2=1 no ponto (2,3,-1).

Passo 1

Então, temos que encontrar a equação do plano tangente ao elipsoide dado pela equação (x-1)^22+(y-2)^22+(z+1)^2=1 no ponto específico (2,3,-1). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, para determinar a orientação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função que representa o elipsoide. Podemos reescrever a equação do elipsoide como:
F(x, y, z) = (x-1)^22 + (y-2)^22 + (z+1)^2 - 1 = 0
Essa função F(x, y, z) representa todos os pontos (x, y, z) que estão no elipsoide.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de F em relação a x, y e z. As derivadas parciais nos darão a direção do vetor normal ao plano tangente.
  • Derivada parcial em relação a x:
Fx = partial Fpartial x = 2(x-1)2 = x - 1
  • Derivada parcial em relação a y:
Fy = partial Fpartial y = 2(y-2)2 = y - 2
  • Derivada parcial em relação a z:
Fz = partial Fpartial z = 2(z + 1)

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto dado (2,3,-1):
  • Avaliando Fx:
Fx(2,3,-1) = 2 - 1 = 1
  • Avaliando Fy:
Fy(2,3,-1) = 3 - 2 = 1
  • Avaliando Fz:
Fz(2,3,-1) = 2(-1 + 1) = 0
Portanto, o vetor normal ao plano tangente no ponto (2,3,-1) é (1, 1, 0).

Passo 5

Com o vetor normal (1, 1, 0) e o ponto de tangência (2,3,-1), podemos usar a fórmula da equação do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto de tangência.
Substituindo os valores:
1(x - 2) + 1(y - 3) + 0(z + 1) = 0
Simplificando:
x - 2 + y - 3 = 0 x + y - 5 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é x + y - 5 = 0.

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