Exercício 5 Determine a equação do plano tangente ao elipsoide
no ponto
.
Passo 1
Então, temos que encontrar a equação do plano tangente ao elipsoide dado pela equação
no ponto específico
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, para determinar a orientação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função que representa o elipsoide. Podemos reescrever a equação do elipsoide como:
Essa função
representa todos os pontos
que estão no elipsoide.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. As derivadas parciais nos darão a direção do vetor normal ao plano tangente.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto dado
:
- Avaliando
:
- Avaliando
:
- Avaliando
:
Portanto, o vetor normal ao plano tangente no ponto
é
.
Passo 5
Com o vetor normal
e o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde
são as componentes do vetor normal e
é o ponto de tangência.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente é
.