Dado o campo vetorial F=(x^2-2 x y) i+(3 y-x^2) j :
(a) Mostre que F(x, y) é conservativo;

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y)=P(x,y), i+Q(x,y), j, onde P(x,y)=x^2-2xy e Q(x,y)=3y-x^2. O conteúdo é campos conservativos e vamos precisar usar a condição de igualdade das derivadas parciais partial Ppartial y=partial Qpartial x.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais. Para P(x,y)=x^2-2xy temos
partial Ppartial y=partialpartial y(x^2)-partialpartial y(2xy)=0-2x=-2x,
e para Q(x,y)=3y-x^2 temos
partial Qpartial x=partialpartial x(3y)-partialpartial x(x^2)=0-2x=-2x

Passo 3

Como em todo R^2 vale
partial Ppartial y=-2x=partial Qpartial x
e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo.

Resposta

O campo F é conservativo, pois partial Ppartial y=partial Qpartial x=-2x em R^2.

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