Dado um campo vetorial
, onde
e
. Dizemos que um campo
é conservativo em uma região
, se existe uma função diferencial
definida em
tal que
em uma região
. Nestas condições, caso queiramos determinar o trabalho
que o campo realiza entre os pontos
e
, basta calcular
. Por um outro lado, um importante resultado do cálculo vetorial afirma que campo vetorial
é conservativo se, e somente se, a sua forma diferenciál associada
é exata.
(a) Verifique se o campo vetorial
é conservativo. Justifique a sua afirmação.(2,0 pontos)
(b) Caso, o campo
seja consertivo então determine uma função potêncial
associado ao campo
ponto
(c) Calcule o trabalho do campo
entre os pontos
e
ponto)
(a) Verifique se o campo vetorial
(b) Caso, o campo
(c) Calcule o trabalho do campo
Passo 1
O enunciado dá o campo
com
com
e pede:
- Verificar se
é conservativo em alguma região . - Se for, achar uma potencial
. - Calcular o trabalho
de a .
Um teste clássico de conservatividade — ou da exatidão da forma associada — é verificar se
num domínio simplesmente‐conexo onde
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais em qualquer ponto com
:
Como
para todo
, o campo é exato (logo conservativo) em cada região de sinal fixo de
(por exemplo
ou
), que são simplesmente‐conexas.
Passo 3
Para achar a potencial
satisfazendo
integramos
em
tratando
como constante:
onde
é função só de
. Agora impomos
Comparando,
, logo
. Assim, uma potencial é
Passo 4
O trabalho de
a
é
Resposta
(a)
é conservativo em cada região com
(ou
), pois
para
.
(b) Uma potencial é
(b) Uma potencial é
(c) O trabalho de
a
é
.