Dado um campo vetorial F(x, y)=(M(x, y), N(x, y)), onde M(x, y)=\frac{2 x}{y} e N(x, y)= \frac{y^{2}-x^{2}}{y^{2}}. Dizemos que um campo F é conservativo em uma região R, se existe uma função diferencial \varphi definida em R tal que F=\nabla \varphi(x, y) em uma região R. Nestas condições, caso queiramos determinar o trabalho \tau que o campo realiza entre os pontos A e B, basta calcular \tau=\varphi(B)-\varphi(A). Por um outro lado, um importante resultado do cálculo vetorial afirma que campo vetorial F(x, y)=(M(x, y), N(x, y)) é conservativo se, e somente se, a sua forma diferenciál associada
M(x, y)+N(x, y) \frac{d y}{d x}=0
é exata.
(a) Verifique se o campo vetorial F(x, y)=\left(\frac{2 x}{y}, \frac{y^{2}-x^{2}}{y^{2}}\right) é conservativo. Justifique a sua afirmação.(2,0 pontos)
(b) Caso, o campo F seja consertivo então determine uma função potêncial \varphi associado ao campo F .(1,0 ponto )
(c) Calcule o trabalho do campo F entre os pontos A=(0,1) e B=(1,1) \cdot(1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá o campo \displaystyle F(x,y)=\bigl(M(x,y),N(x,y)\bigr)
com
M(x,y)=\frac{2x}{y}, \quad N(x,y)=\frac{y^2-x^2}{y^2},
e pede:
  1. Verificar se F é conservativo em alguma região R.
  2. Se for, achar uma potencial \varphi.
  3. Calcular o trabalho \tau=\varphi(B)-\varphi(A) de A=(0,1) a B=(1,1).
Um teste clássico de conservatividade — ou da exatidão da forma associada — é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\; \frac{\partial N}{\partial x}
num domínio simplesmente‐conexo onde y\neq0.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais em qualquer ponto com y\neq0:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{2x}{y}\Bigr) =-\frac{2x}{y^2},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{y^2 - x^2}{y^2}\Bigr) =-\frac{2x}{y^2}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x para todo y\neq0, o campo é exato (logo conservativo) em cada região de sinal fixo de y (por exemplo y>0 ou y<0), que são simplesmente‐conexas.

Passo 3

Para achar a potencial \varphi(x,y) satisfazendo
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M=\frac{2x}{y}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=N=\frac{y^2-x^2}{y^2},
integramos M em x tratando y como constante:
\varphi(x,y) =\int \frac{2x}{y}\,dx =\frac{x^2}{y}+h(y),
onde h é função só de y. Agora impomos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =-\frac{x^2}{y^2}+h'(y) \overset!=\frac{y^2-x^2}{y^2} =1-\frac{x^2}{y^2}.
Comparando, h'(y)=1, logo h(y)=y+C. Assim, uma potencial é
\varphi(x,y)=\frac{x^2}{y}+y+C.

Passo 4

O trabalho de A=(0,1) a B=(1,1) é
\tau =\varphi(B)-\varphi(A) =\Bigl(\tfrac{1^2}{1}+1+C\Bigr) -\Bigl(\tfrac{0^2}{1}+1+C\Bigr) =2-1 =1.

Resposta

(a) F é conservativo em cada região com y>0 (ou y<0), pois \partial M/\partial y=\partial N/\partial x para y\neq0.
(b) Uma potencial é
\varphi(x,y)=\frac{x^2}{y}+y+C.
(c) O trabalho de A=(0,1) a B=(1,1) é \tau=1.

Exercícios relacionados