- O logaritmo natural de um número complexo
é definido por
, onde
e
para
ou
para
. Determine um número
tal que
.
Passo 1
O enunciado define o “logaritmo natural” de um número complexo
por
onde
com a convenção de ramo
Precisamos achar
tal que
Passo 2
Escrevemos
então
como acima. A equação
em coordenadas polares exige igualdade de módulo e de argumento:
Pela restrição de ramo e pelo fato de buscarmos uma única solução principal, tomamos
sem salto de múltiplo de
.
Passo 3
Da definição de
segue
Aplicando tangente em ambos os lados,
Passo 4
Da igualdade de módulos
, temos
Substituindo
e elevando ao quadrado,
logo
Passo 5
Agora temos duas expressões para
:
Igualando,
Esta é uma equação transcendental em
. Resolve-se numericamente, encontrando
Passo 6
Com
, calculamos
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