1. O logaritmo natural de um número complexo z=r \cdot e^{i \cdot \theta} é definido por \ln \mathrm{z}=\mathrm{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot \lambda}, onde \mathrm{s}=\sqrt{(\ln \mathrm{r})^{2}+\theta^{2}}, \lambda=\operatorname{arc} \cdot \tan \left(\frac{\theta}{\ln (\mathrm{r})}\right) e 0 \leq \lambda \leq \pi / 2 para \mathrm{r} \geq 1 ou \pi / 2<\lambda<\pi para 0<\mathrm{r}<1. Determine um número z_{0} tal que \ln z_{0}=z_{0}.

Passo 1

O enunciado define o “logaritmo natural” de um número complexo z=r\,e^{i\theta} por
\ln z = s\,e^{i\lambda},
onde
s = \sqrt{(\ln r)^{2} + \theta^{2}}, \quad \lambda = \arctan\!\bigl(\tfrac{\theta}{\ln r}\bigr)
com a convenção de ramo
0 \le \lambda \le \tfrac{\pi}{2}\quad\text{se }r\ge1, \quad \tfrac{\pi}{2}<\lambda<\pi\quad\text{se }0<r<1.
Precisamos achar z_{0} tal que
\ln z_{0} = z_{0}.

Passo 2

Escrevemos
z_{0} = r\,e^{i\theta},
então
\ln z_{0} = s\,e^{i\lambda}
como acima. A equação \ln z_{0}=z_{0} em coordenadas polares exige igualdade de módulo e de argumento:
s = r, \quad \lambda \equiv \theta \pmod{2\pi}.
Pela restrição de ramo e pelo fato de buscarmos uma única solução principal, tomamos \lambda = \theta sem salto de múltiplo de 2\pi.

Passo 3

Da definição de \lambda segue
\lambda = \theta \quad\Longrightarrow\quad \arctan\!\bigl(\tfrac{\theta}{\ln r}\bigr) = \theta.
Aplicando tangente em ambos os lados,
\tan\theta = \frac{\theta}{\ln r} \quad\Longrightarrow\quad \ln r = \frac{\theta}{\tan\theta} = \theta\cot\theta.

Passo 4

Da igualdade de módulos s = r, temos
\sqrt{(\ln r)^{2} + \theta^{2}} = r.
Substituindo \ln r = \theta\cot\theta e elevando ao quadrado,
(\theta\cot\theta)^{2} + \theta^{2} = r^{2} \quad\Longrightarrow\quad \theta^{2}\bigl(\cot^{2}\theta +1\bigr) = r^{2} \quad\Longrightarrow\quad \theta^{2}\csc^{2}\theta = r^{2},
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r = \frac{\theta}{\sin\theta}.

Passo 5

Agora temos duas expressões para r:
r = e^{\theta\cot\theta} \quad\text{e}\quad r = \frac{\theta}{\sin\theta}.
Igualando,
e^{\theta\cot\theta} = \frac{\theta}{\sin\theta}.
Esta é uma equação transcendental em \theta. Resolve-se numericamente, encontrando
\theta \approx 1{,}335\text{ rad}.

Passo 6

Com \theta\approx1{,}335, calculamos
r = \frac{\theta}{\sin\theta}\approx \frac{1{,}335}{\sin(1{,}335)}\approx1{,}373.
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z_{0} = r\,e^{i\theta}\approx 1{,}373\,e^{i\,1{,}335} \approx 0{,}322 + 1{,}334\,i.

Resposta

z_{0}\approx 1{,}373\,e^{i\,1{,}335}, ou aproximadamente
\boxed{\,0{,}322 \;+\; 1{,}334\,i\,}.

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