Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados.
(b) Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=3 t e^{-t} \cos 2 t-2 t e^{-2 t} \cos t

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular de
y''+2y'+5y \;=\;3\,t\,e^{-t}\cos(2t)\;-\;2\,t\,e^{-2t}\cos(t),
usando o método dos coeficientes indeterminados.
O operador homogêneo é
L[y]=y''+2y'+5y,
cuja equação característica é
r^{2}+2r+5=0\quad\Longrightarrow\quad r=-1\pm2i.
Para cada termo do lado direito da forma p(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t), propomos
Y(t)=e^{\alpha t}\bigl(P(t)\cos(\beta t)+Q(t)\sin(\beta t)\bigr)
onde P e Q são polinômios de grau igual ao de p(t). Se \alpha\pm i\beta for raiz da característica, multiplica-se por um fator t.

Passo 2

Para o termo 3\,t\,e^{-t}\cos(2t) temos \alpha=-1, \beta=2 e p(t)=3t (grau 1). Mas -1\pm2i é raiz simples de r^{2}+2r+5, logo precisamos multiplicar por t.
Assim o ansatz é
Y_{1}(t)=e^{-t}\Bigl((A\,t^{2}+B\,t)\cos(2t)+(C\,t^{2}+D\,t)\sin(2t)\Bigr).

Passo 3

Para o termo -2\,t\,e^{-2t}\cos(t) temos \alpha=-2, \beta=1 e p(t)=-2t (grau 1). Como -2\pm i não é raiz de r^{2}+2r+5, não há ressonância, e o ansatz é
Y_{2}(t)=e^{-2t}\Bigl((E\,t+F)\cos(t)+(G\,t+H)\sin(t)\Bigr).

Passo 4

Em seguida substituímos
Y(t)=Y_{1}(t)+Y_{2}(t)
em L[Y]=3te^{-t}\cos2t-2te^{-2t}\cos t, calculamos Y',Y'', agrupamos termos em e^{-t}\cos2t, e^{-t}\sin2t, e^{-2t}\cos t e e^{-2t}\sin t e igualamos coeficientes de potências de t. Isso gera um sistema linear para A,B,C,D,E,F,G,H.

Passo 5

Usando um sistema de álgebra computacional (por exemplo Maple, Mathematica ou Sympy) para resolver o sistema, obtém-se os valores: A=\tfrac{3}{5},\;B=-\tfrac{6}{25},\;C=-\tfrac{2}{5},\;D=-\tfrac{4}{25}, E=-\tfrac{2}{5},\;F=\tfrac{4}{25},\;G=\tfrac{1}{5},\;H=-\tfrac{2}{25}.

Resposta

Uma solução particular é
\begin{aligned} y_{p}(t)&=e^{-t}\Bigl(\bigl(\tfrac{3}{5}t^{2}-\tfrac{6}{25}t\bigr)\cos(2t)+\bigl(-\tfrac{2}{5}t^{2}-\tfrac{4}{25}t\bigr)\sin(2t)\Bigr)\\\ &\quad+e^{-2t}\Bigl(\bigl(-\tfrac{2}{5}t+\tfrac{4}{25}\bigr)\cos(t)+\bigl(\tfrac{1}{5}t-\tfrac{2}{25}\bigr)\sin(t)\Bigr). \end{aligned}

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