Dado o campo vetorial F(x, y)=(x^2, y^2) e uma curva C dada pelo arco de parábola y=2 x^2 de (-1,2) a (2,8) :
a. Calcule diretamente integralC F(x, y) d r;
b. Determine se o campo é conservativo utilizando teorema dado em sala de aula. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f;
c. Ainda caso o campo seja conservativo, calcule integralC F(x, y) d r usando o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de F(x,y)=(x^2,y^2) sobre a curva C dada por y=2x^2 de (-1,2) a (2,8), e depois verificar se F é conservativo e, em caso afirmativo, usar um potencial para recalcular a integral. O conteúdo envolve parametrização de curvas, cálculo de integralC Fcdot dvec r, e teste de campo conservativo com potenciais.

Passo 2

Parametrizamos C por vec r(t)=(t,2t^2), com t variando de -1 a 2. Então
dvec rdt=(1,4t),
e
F(vec r(t))=l(t^2,,(2t^2)^2r)=(t^2,4t^4)
O produto escalar é
F(vec r(t))cdotdvec rdt = t^2cdot1 + 4t^4cdot4t = t^2 + 16t^5

Passo 3

Calculamos
integralC Fcdot dvec r =integralt=-1^2l(t^2+16t^5r),dt =integral-1^2t^2,dt + integral-1^216t^5,dt
Temos
integral-1^2t^2,dt =l[tfract^33r]-1^2 =83-l(-13r) =3,
integral-1^216t^5,dt =16l[t^66r]-1^2 =83l(2^6-(-1)^6r) =83(64-1) =168
Logo
integralC Fcdot dvec r = 3 + 168 = 171

Passo 4

Para verificar se F=(P,Q) é conservativo, checamos
partial Ppartial y =partial (x^2)partial y =0, partial Qpartial x =partial (y^2)partial x =0
Como 0=0 em todo R^2 (domínio simplesmente conexo), F é conservativo.

Passo 5

Buscamos f(x,y) tal que nabla f=(x^2,y^2). Integramos
partial fpartial x=x^2 ;Longrightarrow; f(x,y)=x^33+g(y)
Derivando em y e igualando a y^2:
partial fpartial y=g'(y)=y^2 ;Longrightarrow; g(y)=y^33+C
Podemos tomar C=0, logo
f(x,y)=x^33+y^33

Passo 6

Pelo teorema fundamental das integrais de linha, em campo conservativo:
integralC Fcdot dvec r =fl(2,8r)-fl(-1,2r)
Calculamos
f(2,8)=2^33+8^33=83+5123=5203, f(-1,2)=(-1)^33+2^33 =-13+83=73,
portanto
integralC Fcdot dvec r =5203-73 =5133 =171,
coincidindo com o valor obtido diretamente.

Resposta

(a) 171
(b) O campo é conservativo e um potencial é f(x,y)=x^33+y^33
(c) 171

Exercícios relacionados