Dado o campo vetorial
e uma curva C dada pelo arco de parábola
de
a
:
a. Calcule diretamente
;
b. Determine se o campo é conservativo utilizando teorema dado em sala de aula. Se for, determine uma função
tal que
;
c. Ainda caso o campo seja conservativo, calcule
usando o teorema fundamental das integrais de linha.
a. Calcule diretamente
b. Determine se o campo é conservativo utilizando teorema dado em sala de aula. Se for, determine uma função
c. Ainda caso o campo seja conservativo, calcule
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha de
sobre a curva
dada por
de
a
, e depois verificar se
é conservativo e, em caso afirmativo, usar um potencial para recalcular a integral. O conteúdo envolve parametrização de curvas, cálculo de
, e teste de campo conservativo com potenciais.
Passo 2
Parametrizamos
por
, com
variando de
a
. Então
e
O produto escalar é
Passo 3
Calculamos
Temos
Logo
Passo 4
Para verificar se
é conservativo, checamos
Como
em todo
(domínio simplesmente conexo),
é conservativo.
Passo 5
Buscamos
tal que
. Integramos
Derivando em
e igualando a
:
Podemos tomar
, logo
Passo 6
Pelo teorema fundamental das integrais de linha, em campo conservativo:
Calculamos
portanto
coincidindo com o valor obtido diretamente.
Resposta
(a)
(b) O campo é conservativo e um potencial é
(c)
(b) O campo é conservativo e um potencial é
(c)