Q2. Utilize o método dos Coeficientes Indeterminados para resolver a EDO
y^prime prime-2 y^prime-3 y=-3 t e^-t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = -3,t,e^-t
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar de 1) solução geral da equação homogênea associada e 2) uma solução particular para o termo não homogêneo -3,t,e^-t.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea
y'' - 2y' - 3y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r - 3 = 0,
cuja solução é r = 3 ou r = -1. Portanto a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^3t + C2 e^-t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para
y'' - 2y' - 3y = -3,t,e^-t
O termo não homogêneo é P(t)e^at com P(t) = -3t e a = -1. Como a=-1 é raiz simples da característica, multiplicamos por t o ansatz usual. Como P(t) é de grau 1, tomamos
yp = (A t^2 + B t),e^-t
Vamos calcular yp' e yp''. Defina u(t)=A t^2 + B t. Então
yp = u,e^-t, u' = 2A t + B
Dessa forma
yp' = u',e^-t - u,e^-t = l(2A t + B - (A t^2 + B t)r)e^-t = l(-A t^2 + (2A - B)t + Br)e^-t
Derivando de novo, chamando v(t) = -A t^2 + (2A - B)t + B, temos v' = -2A t + (2A - B) e
yp'' = v',e^-t - v,e^-t = l(-2A t + 2A - B -(-A t^2 + (2A - B)t + B)r)e^-t = l(A t^2 - (4A - B)t + (2A-2B)r)e^-t
Substituindo na equação diferencial:
yp'' - 2yp' - 3yp = l[,A t^2 - (4A-B)t + (2A-2B)r] -2l[-A t^2 + (2A-B)t + Br] -3l[A t^2 + B tr] ;e^-t
Reunindo coeficientes de t^2, t e constante dentro dos colchetes, obtemos
0cdot t^2 + (-8A),t + (2A - 4B)
e isso deve ser igual a -3,t. Logo
-8A = -3, 2A - 4B = 0
resultando em
A = tfrac38, B = tfrac316
Portanto
yp = l(tfrac38t^2 + tfrac316tr)e^-t

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t + l(tfrac38t^2 + tfrac316tr)e^-t

Resposta

y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t + l(tfrac38t^2 + tfrac316tr)e^-t

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