Q2. Utilize o método dos Coeficientes Indeterminados para resolver a EDO
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar de
solução geral da equação homogênea associada e
uma solução particular para o termo não homogêneo
.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea
A equação característica é
cuja solução é
ou
. Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
O termo não homogêneo é
com
e
. Como
é raiz simples da característica, multiplicamos por
o ansatz usual. Como
é de grau 1, tomamos
Vamos calcular
e
. Defina
. Então
Dessa forma
Derivando de novo, chamando
, temos
e
Substituindo na equação diferencial:
Reunindo coeficientes de
,
e constante dentro dos colchetes, obtemos
e isso deve ser igual a
. Logo
resultando em
Portanto
Passo 4
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular: