Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral x e^x^2 d x=12 e^x^2+C

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a integral de x e^x^2 em relação a x é tfrac12 e^x^2+C. O assunto aqui é integração por substituição (u-substituição).

Passo 2

Definimos a substituição u = x^2. Assim, derivando ambos os lados em relação a x, temos:
du = 2x,dx
ou, isolando x,dx:
x,dx = du2

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos:
integral x e^x^2,dx = integral e^u cdot du2 = 12 integral e^u,du

Passo 4

Agora basta integrar e^u em relação a u. Sabemos que:
integral e^u,du = e^u + C
Logo,
12 integral e^u,du = 12 e^u + C
Revertendo a substituição u = x^2, fica tfrac12 e^x^2 + C.

Resposta

12 e^x^2 + C

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