Dado o campo vetorial
: Use o resultado obtido em (a) e o teorema fundamental das integrais de linha para calcular
sobre a curva
dada por
,
.
Passo 1
Temos o campo vetorial
e a curva
dada por
,
. O conteúdo aqui é integral de linha de campo conservativo e vamos precisar usar o teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 2
Verificamos que
é conservativo calculando as derivadas parciais:
e
. Temos
e
, iguais, logo existe potencial
tal que
.
Passo 3
Para achar o potencial, integramos
em relação a
:
Derivando em
e igualando a
, obtemos
, então
Passo 4
Pelo teorema fundamental das integrais de linha, temos
Calculamos os pontos:
e
.
Passo 5
Avaliando o potencial nos extremos:
e
. Portanto,
Resposta
2