Dado o campo vetorial F(x, y)=x y^2 i+x^2 y j : Use o resultado obtido em (a) e o teorema fundamental das integrais de linha para calcular integralC F cdot d r sobre a curva C dada por r(t)=[t+sen(pi t / 2)] i+[t+cos (pi t / 2)] j, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y)=x y^2,i+x^2 y,j e a curva C dada por r(t)=[t+sin(pi t/2)],i+[t+cos(pi t/2)],j, 0<= t<=1. O conteúdo aqui é integral de linha de campo conservativo e vamos precisar usar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Verificamos que F é conservativo calculando as derivadas parciais: P(x,y)=xy^2 e Q(x,y)=x^2y. Temos partial P/partial y=2xy e partial Q/partial x=2xy, iguais, logo existe potencial varphi tal que nablavarphi=F.

Passo 3

Para achar o potencial, integramos P em relação a x:
varphi(x,y)=integral x y^2,dx=x^2y^22+g(y)
Derivando em y e igualando a Q, obtemos g'(y)=0, então
varphi(x,y)=x^2y^22+C

Passo 4

Pelo teorema fundamental das integrais de linha, temos
integralCFcdot dr=varphil(r(1)r)-varphil(r(0)r)
Calculamos os pontos: r(0)=(0,1) e r(1)=(2,1).

Passo 5

Avaliando o potencial nos extremos: varphi(2,1)=2^2cdot1^2/2=2 e varphi(0,1)=0. Portanto,
integralCFcdot dr=2-0=2

Resposta

2

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