Dado um campo vetorial
de classe
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular a divergência do rotacional de um campo vetorial
. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, mais especificamente das operações de divergência e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular tanto a divergência quanto o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, representado por
, mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Para um campo
, o rotacional é dado por:
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência desse rotacional. A divergência, representada por
, mede a “taxa de saída” do campo vetorial de um ponto. Para um campo
, a divergência é:
Passo 4
Aplicando isso ao nosso rotacional, temos:
Passo 5
Vamos expandir cada termo:
Passo 6
Observamos que alguns termos se cancelam:
-
e se anulam. -
e também se anulam. -
e se cancelam igualmente.
Passo 7
Após o cancelamento, não nos resta nenhum termo, ou seja: