Dado um campo vetorial
F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k
de classe C^1, calcule div(rot F).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular a divergência do rotacional de um campo vetorial F. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, mais especificamente das operações de divergência e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular tanto a divergência quanto o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, representado por rot F, mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Para um campo F(x, y, z) = Pi + Qj + Rk, o rotacional é dado por:
rot F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência desse rotacional. A divergência, representada por div, mede a “taxa de saída” do campo vetorial de um ponto. Para um campo G = Gx i + Gy j + Gz k, a divergência é:
div G = partial Gxpartial x + partial Gypartial y + partial Gzpartial z

Passo 4

Aplicando isso ao nosso rotacional, temos:
div(rot F) = partialpartial x ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) + partialpartial y ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) + partialpartial z ( partial Qpartial x - partial Ppartial y )

Passo 5

Vamos expandir cada termo:
div(rot F) = partial^2 Rpartial x partial y - partial^2 Qpartial x partial z + partial^2 Ppartial y partial z - partial^2 Rpartial y partial x + partial^2 Qpartial z partial x - partial^2 Ppartial z partial y

Passo 6

Observamos que alguns termos se cancelam:
  • partial^2 Rpartial x partial y e -partial^2 Rpartial y partial x se anulam.
  • -partial^2 Qpartial x partial z e partial^2 Qpartial z partial x também se anulam.
  • partial^2 Ppartial y partial z e -partial^2 Ppartial z partial y se cancelam igualmente.

Passo 7

Após o cancelamento, não nos resta nenhum termo, ou seja:
div(rot F) = 0

Resposta

div(rot F) = 0

Exercícios relacionados