Dado
resolva os itens abaixo.
Verifique que a transformada de Laplace da função
definida por
para
é dada por
Verifique que a transformada de Laplace da função
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar a transformada de Laplace da função $ f_n(t) = t^n $ para $ n = 0, 1, 2, ··· $. O conteúdo principal aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver esse problema, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace e calcular a integral correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ f_n(t) = t^n $. Então, precisamos calcular:
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar uma propriedade conhecida das integrais envolvendo potências de $ t $ e exponenciais. A integral que temos é uma forma da função Gamma, definida por:
Sabemos que $ \Gamma(n+1) = n! $ quando $ n $ é um número natural. Portanto, podemos reescrever a integral como:
Passo 4
Assim, a transformada de Laplace de $ t^n $ fica:
Isso confirma a formulação que o exercício nos pede para verificar.
Resposta
A transformada de Laplace da função $ f_n(t) = t^n $ é dada por: