Dado n in N resolva os itens abaixo.
Verifique que a transformada de Laplace da função fn:[0, infty) R definida por fn(t)=t^n para n=0,1,2, ldots é dada por
Fn(s)=n!s^n+1, s>0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar a transformada de Laplace da função $ f_n(t) = t^n $ para $ n = 0, 1, 2, ··· $. O conteúdo principal aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver esse problema, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace e calcular a integral correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
No nosso caso, $ f_n(t) = t^n $. Então, precisamos calcular:
Lf(t)(s) = integral0^infty e^-st f(t) , dt

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar uma propriedade conhecida das integrais envolvendo potências de $ t $ e exponenciais. A integral que temos é uma forma da função Gamma, definida por:
t
Sabemos que $ \Gamma(n+1) = n! $ quando $ n $ é um número natural. Portanto, podemos reescrever a integral como:
Gamma(n+1) = integral0^infty e^-st t^n , dt

Passo 4

Assim, a transformada de Laplace de $ t^n $ fica:
t^n
Isso confirma a formulação que o exercício nos pede para verificar.

Resposta

A transformada de Laplace da função $ f_n(t) = t^n $ é dada por:
fn(t) = t^n

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