Dado
, mostre que a transformada de Laplace da função
é dada por
Passo 1
Resumo do enunciado: Precisamos calcular a transformada de Laplace de f(t)=senh(at). Vamos usar definição de transformada de Laplace e propriedades de linearidade para chegar em F(s)=a/(s2−a2), válida para s>|a|.
Passo 2
Conteúdo teórico necessário: A transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por
. Para funções exponenciais, usamos
, desde que
.
Passo 3
Expressão de f(t) e aplicação da definição: Como senh(at)=
, escrevemos
Passo 4
Separação em duas integrais e uso da linearidade:
Ou seja,
Passo 5
Cálculo de cada integral usando
se
:
$$\int_{0}{\infty}e{-(s-a)t},dt=\frac{1}{s-a},\quad
\int_{0}{\infty}e{-(s+a)t},dt=\frac{1}{s+a}$$
Passo 6
Portanto, juntando tudo:
Passo 7
Simplificação algébrica:
Passo 8
Condição de convergência: Para cada integral convergir precisamos
e
, ou seja,
.