Dado a in R, mostre que a transformada de Laplace da função
f(t)=senh(a t)=e^a t-e^-a t2
é dada por
F(s)=as^2-a^2, s>|a|

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos calcular a transformada de Laplace de f(t)=senh(at). Vamos usar definição de transformada de Laplace e propriedades de linearidade para chegar em F(s)=a/(s2−a2), válida para s>|a|.

Passo 2

Conteúdo teórico necessário: A transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt. Para funções exponenciais, usamos integral0^inftye^-pt,dt=1/p, desde que Re(p)>0.

Passo 3

Expressão de f(t) e aplicação da definição: Como senh(at)= e^at-e^-at2, escrevemos
Lsenh(at)(s)=integral0^inftye^-ste^at-e^-at2,dt

Passo 4

Separação em duas integrais e uso da linearidade:
=12integral0^inftye^-ste^at,dt-12integral0^inftye^-ste^-at,dt
Ou seja,
=12integral0^inftye^-(s-a)t,dt-12integral0^inftye^-(s+a)t,dt

Passo 5

Cálculo de cada integral usando integral0^inftye^-pt,dt=1/p se Re(p)>0:
$$\int_{0}{\infty}e{-(s-a)t},dt=\frac{1}{s-a},\quad
\int_{0}{\infty}e{-(s+a)t},dt=\frac{1}{s+a}$$

Passo 6

Portanto, juntando tudo:
Lsenh(at)(s)=12l(1s-a-1s+ar)

Passo 7

Simplificação algébrica:
12l(1s-a-1s+ar) =12cdot(s+a)-(s-a)(s-a)(s+a) =12cdot2as^2-a^2 =as^2-a^2

Passo 8

Condição de convergência: Para cada integral convergir precisamos Re(s-a)>0 e Re(s+a)>0, ou seja, s>|a|.

Resposta

F(s)=as^2-a^2, s>|a|

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