Dado o campo vetorial
F(x, y, z)=y z e^x z i+(e^x z+z e^y z) j+(x y e^x z+y e^y z) k
determine uma função f tal que F=nabla f e calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é uma semicircunferência ligando o ponto (pi, 1,0) ao ponto (pi^2, 4,0).

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função escalar f tal que o campo vetorial
F(x,y,z)=y z e^x zi + l(e^x z+z e^y zr)j + l(x y e^x z+y e^y zr)k
seja conservativo (ou seja, F=∇f) e depois calcular a integral de linha integralC Fcdot d r numa semicircunferência ligando (pi,1,0) a (pi^2,4,0). O conteúdo é campos conservativos e integrais de gradiente, e vamos precisar verificar a conservatividade e usar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Primeiro mostramos que F é conservativo: basta checar que as derivadas parciais cruzadas coincidem em um domínio simplesmente conexo (aqui R^3). Por exemplo,
partialpartial y(y z e^x z)=z e^x z, partialpartial x(e^x z+z e^y z)=z e^x z,
e os outros pares dão o mesmo, logo nablatimes F=0 e existe f.

Passo 3

Agora integramos partial f/partial x = y z e^xz em relação a x, tratando y,z como constantes. Isso dá
f(x,y,z)=yintegral z e^xz,dx = y e^x z + g(y,z)
Em seguida usamos partial f/partial y = e^xz+z e^yz:
partialpartial yl(y e^xz+g(y,z)r)=e^xz+partial gpartial y=e^xz+z e^yz,
logo partial g/partial y=z e^yz e integrando em y obtemos g(y,z)=e^yz+h(z).

Passo 4

Por fim ajustamos h(z) usando partial f/partial z. Temos
partialpartial zl(y e^xz+e^yz+h(z)r)=x y e^xz+y e^yz+h'(z),
que deve coincidir com o componente k de F, isto é, x y e^xz+y e^yz. Logo h'(z)=0 e podemos tomar h(z)=constante. Ignorando a constante, ficamos com
$$f(x,y,z)=y e^{x z}+e^{y z}.
$$

Passo 5

Como F é gradiente de f, a integral de linha independe do caminho e vale
$$\int_C F\cdot d\mathbf r=f\bigl(\pi^2,4,0\bigr)-f(\pi,1,0).
$$
Calculando:
integralC Fcdot d r=fl(pi^2,4,0r)-f(pi,1,0)
f(pi^2,4,0)=4e^pi^2cdot0+e^4cdot0=4+1=5,
logo a integral é f(pi,1,0)=1cdot e^picdot0+e^1cdot0=1+1=2,.

Resposta

Uma função potencial é f(x,y,z)=y e^x z+e^y z (até constante) e a integral de linha vale 3.

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