Dado o campo vetorial
determine uma função
tal que
e calcule a integral de linha
, onde
é uma semicircunferência ligando o ponto
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma função escalar f tal que o campo vetorial
seja conservativo (ou seja, F=∇f) e depois calcular a integral de linha
numa semicircunferência ligando
a
. O conteúdo é campos conservativos e integrais de gradiente, e vamos precisar verificar a conservatividade e usar o teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 2
Primeiro mostramos que F é conservativo: basta checar que as derivadas parciais cruzadas coincidem em um domínio simplesmente conexo (aqui
). Por exemplo,
e os outros pares dão o mesmo, logo
e existe f.
Passo 3
Agora integramos
em relação a
, tratando
como constantes. Isso dá
Em seguida usamos
:
logo
e integrando em
obtemos
.
Passo 4
Por fim ajustamos
usando
. Temos
que deve coincidir com o componente
de F, isto é,
. Logo
e podemos tomar
. Ignorando a constante, ficamos com
$$f(x,y,z)=y e^{x z}+e^{y z}.
$$
Passo 5
Como F é gradiente de f, a integral de linha independe do caminho e vale
$$\int_C F\cdot d\mathbf r=f\bigl(\pi^2,4,0\bigr)-f(\pi,1,0).
$$
Calculando:
logo a integral é
.
Resposta
Uma função potencial é
(até constante) e a integral de linha vale
.