Fatore os polinômios abaixo utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini:
x^5-3 x^4-x^3+11 x^2-12 x+4

Passo 1

O polinômio dado é x^5 - 3x^4 - x^3 + 11x^2 - 12x + 4. O objetivo é fatorá-lo usando o algoritmo de Briot-Ruffini, para isso vamos usar o Teorema das Raízes Racionais e a divisão sintética.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes são os divisores do termo independente ( ±1,±2,±4). Testando x=1 no polinômio: P(1)=1-3-1+11-12+4=0. Logo, x=1 é uma raiz.

Passo 3

Fazendo a divisão sintética por x-1 (raiz 1) com os coeficientes [1,-3,-1,11,-12,4], obtemos o quociente de grau 4:
x^4-2x^3-3x^2+8x-4

Passo 4

Agora aplicamos novamente a divisão sintética em x^4-2x^3-3x^2+8x-4. Testando x=1 nesse quociente, temos zero de novo. Dividindo por x-1, o novo quociente é:
x^3 - x^2 -4x +4

Passo 5

Repetimos uma terceira divisão sintética em x^3 - x^2 -4x +4 para x=1, pois continua sendo raiz. O quociente resultante é a parte quadrática:
x^2 - 4

Passo 6

Por fim, fatoramos x^2-4 como diferença de quadrados:
x^2-4 = (x-2)(x+2)

Passo 7

Juntando todos os fatores lineares obtidos pelas divisões sucessivas, concluímos a fatoração completa do polinômio.

Resposta

(x-1)^3(x-2)(x+2)

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