Utilize completamento de quadrados para encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar os gráficos das funções do segundo grau abaixo:
x^2-6 x+7

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função quadrática f(x)=x^2–6x+7 usando o método de completamento de quadrado, encontrando as raízes reais (se existirem) e, a partir disso, esboçar seu gráfico. O conteúdo envolve funções do segundo grau, forma canônica (vértice) e cálculo do discriminante para raízes.

Passo 2

Para completar o quadrado em f(x)=x^2–6x+7, observamos o coeficiente linear –6: metade dele é –3 e seu quadrado é 9. Então escrevemos:
f(x)=x^2-6x+7=(x^2-6x+9)-9+7=(x-3)^2-2

Passo 3

A forma f(x)=(x-3)^2-2 mostra que o vértice da parábola é o ponto (3,-2) e que ela abre para cima. Agora, para achar as raízes, igualamos a zero:
(x-3)^2-2=0
(x-3)^2=2
x-3=pmraiz2
x=3pmraiz2

Passo 4

Como o discriminante De0, temos duas raízes reais distintas: x1=3-raiz2 e x2=3+raiz2.
Para esboçar o gráfico, marcamos o vértice (3,-2), as raízes (3-raiz2,0) e (3+raiz2,0) e o intercepto em y, que é f(0)=7. A parábola abre para cima com eixo de simetria na reta x=3.

Resposta

As raízes reais são x=3-√2 e x=3+√2. O vértice é (3,−2), a parábola abre para cima, intercepta o eixo y em (0,7) e tem eixo de simetria x=3.

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