Calcule a integral de linha do campo vetorial \vec{F}=x y^{2} \hat{a}_{x}+y z^{2} \hat{a}_{y}+2 x z \hat{a}_{z}, ao longo da linha reta que une os pontos (0,0,0) e (1,2,3).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial \vec{F}=x y^{2} \,\hat{a}_{x}+y z^{2}\,\hat{a}_{y}+2 x z\,\hat{a}_{z} ao longo da reta que une os pontos (0,0,0) e (1,2,3).
Informações dadas:
Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z)=\big(x y^{2},\;y z^{2},\;2 x z\big).
Curva C: segmento de reta de P_0=(0,0,0) até P_1=(1,2,3).
Pedido: o valor da integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Passo 2
O que é a integral de linha de um campo vetorial e como vamos calcular?
Definição prática: se \vec{r}(t) é uma parametrização da curva C para t\in[a,b], então
Aqui \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) e \vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)). A expressão \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}\,'(t) é um produto escalar (soma de produtos das componentes correspondentes), que fica uma função de t que integramos de a a b.
Explicando o produto escalar: se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), então
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.
Na integral de linha aplicamos isso a \vec{F}(\vec{r}(t)) e \vec{r}\,'(t).
Passo 3
Parametrização da reta que liga (0,0,0) a (1,2,3). Para um segmento reto é conveniente usar
Resultado final e pequena palavra de incentivo: a integral de linha vale \,16. Mandou bem por trazer um exercício clássico — com essa técnica (parametrizar, avaliar, fazer o produto escalar e integrar) você resolve quase todo problema de integral de linha ao longo de curvas simples. Continua assim, você vai conseguir na prova!