Calcule a integral de linha do campo vetorial \vec{F}=x y^{2} \hat{a}_{x}+y z^{2} \hat{a}_{y}+2 x z \hat{a}_{z}, ao longo da linha reta que une os pontos (0,0,0) e (1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial \vec{F}=x y^{2} \,\hat{a}_{x}+y z^{2}\,\hat{a}_{y}+2 x z\,\hat{a}_{z} ao longo da reta que une os pontos (0,0,0) e (1,2,3).
Informações dadas:
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z)=\big(x y^{2},\;y z^{2},\;2 x z\big).
  • Curva C: segmento de reta de P_0=(0,0,0) até P_1=(1,2,3).
  • Pedido: o valor da integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

O que é a integral de linha de um campo vetorial e como vamos calcular?
  • Definição prática: se \vec{r}(t) é uma parametrização da curva C para t\in[a,b], então
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}\,'(t)\,dt.
  • Aqui \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) e \vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)). A expressão \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}\,'(t) é um produto escalar (soma de produtos das componentes correspondentes), que fica uma função de t que integramos de a a b.
Explicando o produto escalar: se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), então
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.
Na integral de linha aplicamos isso a \vec{F}(\vec{r}(t)) e \vec{r}\,'(t).

Passo 3

Parametrização da reta que liga (0,0,0) a (1,2,3). Para um segmento reto é conveniente usar
\vec{r}(t)=\vec{P_0}+t(\vec{P_1}-\vec{P_0}),\qquad t\in[0,1].
Como \vec{P_0}=(0,0,0) e \vec{P_1}=(1,2,3), obtemos
\vec{r}(t)=(t,\;2t,\;3t),\qquad 0\le t\le 1.
Daí as componentes são x(t)=t, y(t)=2t, z(t)=3t.

Passo 4

Derivada da parametrização:
\vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(1,\;2,\;3).
Note que \vec{r}\,'(t) é constante porque a curva é um segmento de reta.

Passo 5

Avaliar \vec{F} ao longo da curva: substituir x=t, y=2t, z=3t em cada componente de \vec{F}.
Computar componente a componente:
  • Primeiro componente: x y^{2}=t\cdot(2t)^{2}=t\cdot 4t^{2}=4t^{3}.
  • Segunda componente: y z^{2}=(2t)\cdot(3t)^{2}=2t\cdot 9t^{2}=18t^{3}.
  • Terceira componente: 2 x z=2\cdot t\cdot 3t=6t^{2}.
Portanto
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)=\big(4t^{3},\;18t^{3},\;6t^{2}\big).

Passo 6

Calcular o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=4t^{3}\cdot 1 + 18t^{3}\cdot 2 + 6t^{2}\cdot 3.
Fazendo as multiplicações:
=4t^{3}+36t^{3}+18t^{2}=40t^{3}+18t^{2}.

Passo 7

Agora montamos a integral em t e calculamos:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}\big(40t^{3}+18t^{2}\big)\,dt.
Integrando termo a termo:
\int_{0}^{1}40t^{3}\,dt=40\cdot\frac{t^{4}}{4}=10t^{4}\Big|_{0}^{1}=10,
\int_{0}^{1}18t^{2}\,dt=18\cdot\frac{t^{3}}{3}=6t^{3}\Big|_{0}^{1}=6.
Somando os dois resultados:
10+6=16.

Passo 8

Resultado final e pequena palavra de incentivo: a integral de linha vale \,16. Mandou bem por trazer um exercício clássico — com essa técnica (parametrizar, avaliar, fazer o produto escalar e integrar) você resolve quase todo problema de integral de linha ao longo de curvas simples. Continua assim, você vai conseguir na prova!

Resposta

16

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