Dado o campo vetorial vecf, calcular div vecf.
vecf(x, y, z)=2 x^2 y^2 i+3 x y z j+y^2 z k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência do campo vetorial vec f(x,y,z)=2x^2y^2,vec i+3xyz,vec j+y^2z,vec k. O conteúdo aqui é divergência de campo vetorial, que envolve derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável. Vamos usar as componentes fx=2x^2y^2, fy=3xyz e fz=y^2z e aplicar a definição de divergência.

Passo 2

Como a divergência de um campo vec f= fx,vec i + fy,vec j + fz,vec k é dada por
divvec f = partial fxpartial x + partial fypartial y + partial fzpartial z,
vamos calcular cada derivada parcial separadamente. Primeiro, trataremos fx=2x^2y^2 e derivaremos em relação a x.
partialpartial x(2x^2y^2) = 2cdot 2xcdot y^2 = 4xy^2

Passo 3

Em seguida, para fy=3xyz, derivamos em relação a y, considerando x e z constantes:
partialpartial y(3xyz) = 3x zcdot 1 = 3xz

Passo 4

Por fim, para fz=y^2z, derivamos em relação a z, considerando y constante:
partialpartial z(y^2z) = y^2cdot 1 = y^2

Passo 5

Agora basta somar esses resultados para obter a divergência do campo:
divvec f = 4xy^2 + 3xz + y^2

Resposta

divvec f = 4xy^2 + 3xz + y^2

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