Para cada um dos PVIs abaixo:

Resolva analiticamente cada um dos PVIs.

Passo 1

Temos o PVI dydt + t,y = -1, y(1)=0 que é uma EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante, que é conteúdo de equações lineares.

Passo 2

Para uma EDO da forma y'+p(t)y=g(t) o fator integrante é
mu(t)=e^integral p(t),dt
Aqui p(t)=t, então
mu(t)=e^integral t,dt=e^t^2/2

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t):
e^t^2/2dydt+t,e^t^2/2y=-e^t^2/2
O lado esquerdo é a derivada de y,e^t^2/2, logo
ddtl(y,e^t^2/2r)=-e^t^2/2
Integrando em relação a t obtemos
y,e^t^2/2=-integral e^t^2/2,dt + C

Passo 4

O integral integral e^t^2/2,dt não é elementar, mas podemos escrevê-lo em termos de erfi. Sabemos que
integral0^t e^s^2/2,ds=raizpi2,erfil(traiz2r)
Logo, de forma geral,
y,e^t^2/2=-raizpi2,erfil(traiz2r)+C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=0:
0cdot e^1/2=-raizpi2,erfil(1raiz2r)+C
Então
C=raizpi2,erfil(1raiz2r)
Substituindo de volta e isolando y(t), achamos a solução particular.

Passo 6

A solução final do PVI é dada por
y(t)=e^-t^2/2raizpi2l(erfil(tfrac1raiz2r)-erfil(tfractraiz2r)r)

Resposta

y(t)=e^-t^2/2raiztfracpi2l(erfi(1/raiz2)-erfi(t/raiz2)r)

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