Resolva fazendo a substituição
:
.
Passo 1
O problema é a equação diferencial
. O conteúdo da matéria é redução de ordem usando a substituição
. Para resolver, vamos precisar da regra da cadeia para escrever
em termos de
.
Passo 2
Como
, temos
. Essa transformação nos permite trocar a variável independente
por
. Substituindo na equação original:
colocamos em evidência
Passo 3
Daí surgem duas possibilidades: ou
(solução trivial) ou
Passo 4
Integrando
:
$$v=\int y^{-2}dy=-\frac{1}{y}+C_{1}.
$$
Passo 5
Lembrando que
, temos
Passo 6
Separamos variáveis:
Passo 7
e integramos ambos os lados:
$$\int dx=\int\frac{y,dy}{C_{1}y-1}.
$$
Passo 8
Para integrar o lado direito, fazemos divisão:
Passo 9
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$$\int\frac{y,dy}{C_{1}y-1}=\frac{y}{C_{1}}+\frac{1}{C_{1}^{2}}\ln\bigl|C_{1}y-1\bigr|+C_{2}.
$$
Passo 10
Assim obtemos a solução implícita geral:
$$\frac{y}{C_{1}}+\frac{1}{C_{1}^{2}}\ln\bigl|C_{1}y-1\bigr|=x+C_{2}.
$$
Passo 11
Multiplicando tudo por
e rearranjando, fica
$$C_{1}y+\ln\bigl|C_{1}y-1\bigr|=C_{1}^{2}x+C_{3}.
$$
Resposta
As soluções são:
- A solução trivial
leva a . - A solução não-trivial fica dada implicitamente por
onde