Resolva fazendo a substituição v=y^prime:
y^2 y^prime prime-y^prime=0.

Passo 1

O problema é a equação diferencial y^2y''-y'=0. O conteúdo da matéria é redução de ordem usando a substituição v=y'. Para resolver, vamos precisar da regra da cadeia para escrever y'' em termos de dvdy.

Passo 2

Como v=y', temos y''=dvdx=dvdydydx=vdvdy. Essa transformação nos permite trocar a variável independente x por y. Substituindo na equação original:
y^2l(vtfracdvdyr)-v=0
colocamos em evidência v:
vl(y^2tfracdvdy-1r)=0

Passo 3

Daí surgem duas possibilidades: ou v=0 (solução trivial) ou
y^2dvdy-1=0Longrightarrowdvdy=1y^2

Passo 4

Integrando dvdy=y^-2:
$$v=\int y^{-2}dy=-\frac{1}{y}+C_{1}.
$$

Passo 5

Lembrando que v=y', temos
dydx=C1-1y

Passo 6

Separamos variáveis:
dx=dyC1-y^-1=y,dyC1y-1,

Passo 7

e integramos ambos os lados:
$$\int dx=\int\frac{y,dy}{C_{1}y-1}.
$$

Passo 8

Para integrar o lado direito, fazemos divisão:
yC1y-1=1C1l(1+1C1y-1r),

Passo 9

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$$\int\frac{y,dy}{C_{1}y-1}=\frac{y}{C_{1}}+\frac{1}{C_{1}^{2}}\ln\bigl|C_{1}y-1\bigr|+C_{2}.
$$

Passo 10

Assim obtemos a solução implícita geral:
$$\frac{y}{C_{1}}+\frac{1}{C_{1}^{2}}\ln\bigl|C_{1}y-1\bigr|=x+C_{2}.
$$

Passo 11

Multiplicando tudo por C1^2 e rearranjando, fica
$$C_{1}y+\ln\bigl|C_{1}y-1\bigr|=C_{1}^{2}x+C_{3}.
$$

Resposta

As soluções são:
  1. A solução trivial y'=0 leva a y=C.
  2. A solução não-trivial fica dada implicitamente por
C1y+lnl|C1y-1r|=C1^2x+C3,
onde C1 e C3 são constantes arbitrárias.

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