Verificar se a função a seguir é contínua em P(0,0).
cx^5x^4+y^4, se (x, y) neq(0,0) 0, se(x, y)=(0,0)

Passo 1

Temos a função definida por
f(x,y)= x^5x^4+y^4,&se (x,y)neq(0,0)0,&se (x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é continuidade em várias variáveis: precisamos mostrar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0.

Passo 2

Para verificar o limite, aplicamos o módulo em f(x,y) para usar a desigualdade de comparação:
|f(x,y)|=|x^5x^4+y^4|.
Observamos que x^4+y^4>= x^4, logo para (x,y)neq(0,0) vale
|f(x,y)|=|x^5x^4+y^4|<=|x|^5x^4=|x|

Passo 3

Como |x|to0 quando (x,y)to(0,0), pelo teorema do sanduíche temos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0.
Esse limite coincide com f(0,0)=0, portanto a função é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em (0,0), pois lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0).

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