Encontre o menor ângulo entre quaisquer duas diagonais de um cubo, onde cada diagonal liga vértices diametralmente opostos e passa pelo centro do cubo.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar o menor ângulo entre quaisquer duas diagonais de um cubo. Essas “diagonais” são aquelas que ligam vértices diametralmente opostos, passando pelo centro.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Geometria analítica em 3D
- Vetores posicionais de vértices
- Produto escalar e a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores
Passo 2
Primeiro, vamos colocar o cubo num sistema de coordenadas de forma simpática: o centro em (0,0,0) e os vértices em (±1,±1,±1). Aí cada diagonal “corre” de um vértice até o oposto. Por exemplo, uma diagonal é o vetor
e outra diagonal qualquer, que não seja a mesma nem a oposta, pode ser
Esses dois vetores partem do centro pra dois vértices diferentes e formam um ângulo que vamos calcular.
Passo 3
Agora aplicamos produto escalar. A teoria diz que, dados dois vetores
e
,
onde
é o ângulo entre eles.
- Calcula o produto escalar:
- Calcula as normas (módulos):
- Substitui na fórmula do cosseno:
Passo 4
Pra achar o ângulo
, a gente aplica a função inversa do cosseno:
Esse é o ângulo agudo entre duas diagonais adjacentes. Se tentarmos outras diagonais, não achamos valor menor — as demais dão cossenos menores (ângulos maiores).
Resposta
O menor ângulo entre quaisquer duas diagonais de um cubo é