Encontre o menor ângulo entre quaisquer duas diagonais de um cubo, onde cada diagonal liga vértices diametralmente opostos e passa pelo centro do cubo.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar o menor ângulo entre quaisquer duas diagonais de um cubo. Essas “diagonais” são aquelas que ligam vértices diametralmente opostos, passando pelo centro.
Conteúdo que vamos usar:
  • Geometria analítica em 3D
  • Vetores posicionais de vértices
  • Produto escalar e a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores

Passo 2

Primeiro, vamos colocar o cubo num sistema de coordenadas de forma simpática: o centro em (0,0,0) e os vértices em (±1,±1,±1). Aí cada diagonal “corre” de um vértice até o oposto. Por exemplo, uma diagonal é o vetor
v = (1,,1,,1)
e outra diagonal qualquer, que não seja a mesma nem a oposta, pode ser
w = (1,,1,,-1)
Esses dois vetores partem do centro pra dois vértices diferentes e formam um ângulo que vamos calcular.

Passo 3

Agora aplicamos produto escalar. A teoria diz que, dados dois vetores vcdotw = lvertvrvert,lvertwrvertcostheta, e vcdotw = 1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot(-1) = 1 + 1 - 1 = 1 ,
lvertvrvert = raiz1^2+1^2+1^2 = raiz3, lvertwrvert = raiz1^2+1^2+(-1)^2 = raiz3
onde costheta = vcdotwlvertvrvert,lvertwrvert = 1raiz3,raiz3 = 13 é o ângulo entre eles.
  1. Calcula o produto escalar:
  2. Calcula as normas (módulos):
  3. Substitui na fórmula do cosseno:

Passo 4

Pra achar o ângulo theta = arccos!l(tfrac13r) , a gente aplica a função inversa do cosseno:
Esse é o ângulo agudo entre duas diagonais adjacentes. Se tentarmos outras diagonais, não achamos valor menor — as demais dão cossenos menores (ângulos maiores).

Resposta

O menor ângulo entre quaisquer duas diagonais de um cubo é
boxedtheta = arccos!l(tfrac13r)approx 70,53^circ

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