Dado um certo intervalo do domínio de uma função, esta pode ou não apresentar pontos de máximo e mínimo absolutos. Dada a função f(x)=4x^5+ x^4 determine se ela tem extremos absolutos e, se tiver,onde ocorrem.

Passo 1

Então, a gente tem uma função $ f(x) = 4x^5 + x^4 $ e precisamos descobrir se ela tem pontos de máximo e mínimo absolutos, e onde esses pontos estão, se existirem. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar esses extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os extremos de uma função, a gente precisa achar onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ f(x) $. A derivada de $ 4x^5 $ é $ 20x^4 $ e a derivada de $ x^4 $ é $ 4x^3 $. Então,
f(x)

Passo 4

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
20x^4 + 4x^3 = 0
Podemos fatorar $ 4x^3 $:
4x^3
Isso nos dá duas soluções:
4x^3(5x + 1) = 0

Passo 5

Temos então dois pontos críticos: $ x = 0 $ e $ x = -\frac{1}{5} $. Para saber se esses pontos são máximos ou mínimos, precisamos analisar a segunda derivada da função.

Passo 6

Vamos calcular a segunda derivada de $ f(x) $:
f(x)

Passo 7

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para $ x = 0 $:
x = 0
Como a segunda derivada é zero, não conseguimos concluir nada diretamente aqui.
Para $ x = -\frac{1}{5} $:
f''(0) = 80(0)^3 + 12(0)^2 = 0
Como $ f’’(-\frac{1}{5}) < 0 $, isso indica que $ x = -\frac{1}{5} $ é um ponto de máximo local.

Passo 8

Para determinar se há extremos absolutos, precisamos analisar o comportamento da função nos intervalos do domínio. Como a função é um polinômio de grau 5 com coeficiente líder positivo ($ 4x^5 $), sabemos que conforme $ x $ tende para $ +\infty $, $ f(x) $ tende para $ +\infty $, e conforme $ x $ tende para $ -\infty $, $ f(x) $ tende para $ -\infty $. Isso quer dizer que não há limites superiores ou inferiores para a função no domínio inteiro, portanto, não há máximos ou mínimos absolutos.

Resposta

A função $ f(x) = 4x^5 + x^4 $ não possui extremos absolutos no seu domínio.

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