A fim de intensificar o seu treinamento para participar de uma maratona, Tânia começou correndo 1,5 km, dobrando a distância a cada dia. Em qual dia ela correu os 48 km necessários para completar a maratona?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A Tânia começa correndo 1,5 km no primeiro dia e dobra essa distância a cada dia seguinte. Precisamos descobrir em qual dia ela chegou a 48 km para completar a maratona. Para isso, vamos usar conceitos de progressão geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos ver como a distância que a Tânia corre aumenta a cada dia. No primeiro dia, ela corre 1,5 km. No segundo dia, dobra essa distância e corre 3 km. No terceiro dia, dobra de novo e corre 6 km, e assim por diante. Isso forma uma sequência onde cada termo é o dobro do anterior, ou seja, é uma progressão geométrica.
Passo 3
A fórmula geral para a distância no n-ésimo dia é:
onde:
- $ D_n $ é a distância no dia n,
- $ D_1 $ é a distância no primeiro dia,
- $ n $ é o número do dia.
Passo 4
Sabemos que $ D_n = 48 $ km e $ D_1 = 1,5 $ km. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o valor de $ n $. Primeiro, dividimos ambos os lados da equação por 1,5:
Passo 6
Observamos que 32 é uma potência de 2:
Então:
Passo 7
Como as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais:
Resposta
A Tânia correu os 48 km necessários no 6º dia.