Duas cargas puntiformes, -q e (1/2)q, estão situadas na origem e no ponto (a, 0,0), respectivamente. Em que ponto, ao longo do eixo x, o campo elétrico se anula?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas cargas pontuais no eixo x: uma carga -q na origem e outra carga +tfrac12q em x=a. A pergunta é: em que ponto ao longo do eixo x o campo elétrico total some?
Conteúdo envolvido: eletrostática, lei de Coulomb e princípio da superposição de campos.
O que precisamos saber:
  • Como calcular o campo de uma carga puntiforme: vec E = k,Qr^2,hat r
    - Como somar vetorialmente (aqui é só eixo x: somatório com sinal).

Passo 2

Vamos pensar em três regiões do eixo:
  1. x<0
  2. 0
  3. x>a
Em cada região, a gente olha o sentido de cada campo e vê se dá pra ter cancelamento.
  • Regiões 1 e 2 vão gerar dois campos na mesma direção, logo não se anulam.
  • A mágica acontece em x>a, porque o campo da carga -q “puxa” para a esquerda e o da carga +tfrac12q “empurra” para a direita. Assim dá pra ter um ponto onde esses módulos sejam iguais.

Passo 3

Na região x>a (ou seja, x-a>0):
  • Campo devido a -q (na origem) em x: E1 = ;k,|-q|x^2apontando para a esquerda;Rightarrow;E1 = -,k,qx^2
    - Campo devido a +tfrac12q (em x=a) em x:
    E2 = k,tfrac12q(x-a)^2apontando para a direita;Rightarrow;E2 = +,k,q2,(x-a)^2
Anulamos a soma:
$$E_1 + E_2 = 0
;\Longrightarrow;-,\frac{kq}{x^2} ;+;\frac{kq}{2,(x-a)^2} = 0 E1 + E2 = 0 ;Longrightarrow;-,kqx^2 ;+;kq2,(x-a)^2 = 0-\frac1{x^2} + \frac1{2,(x-a)^2} = 0
;\Longrightarrow;\frac1{2,(x-a)^2} = \frac1{x^2}
;\Longrightarrow;2,(x-a)^2 = x^2$$

Passo 4

Agora resolve:
2,(x-a)^2 = x^2 ;Longrightarrow;raiz2,(x-a)=x ;Longrightarrow;raiz2,x -raiz2,a = x ;Longrightarrow;x(raiz2 -1)=raiz2,a ;Longrightarrow;x = raiz2,araiz2-1 ;Longrightarrow;x = (raiz2+1),raiz2,a/(,(raiz2-1)(raiz2+1),) = l(2+raiz2r),a

Resposta

x = l(2+raiz2r),a

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