Utilize a fórmula
para calcular a força por unidade de comprimento
entre dois fios paralelos infinitos com correntes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a força por unidade de comprimento $ f $ entre dois fios paralelos infinitos que transportam correntes $ I_1 $ e $ I_2 $. O conteúdo envolvido aqui é a Eletromagnetismo, mais especificamente a interação entre correntes elétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da força entre duas distribuições de corrente, que envolve integrais e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que foi dada:
Aqui:
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade magnética do vácuo.
- $ I_1 $ e $ I_2 $ são as correntes nos fios 1 e 2.
- $ d\vec{r}_1 $ e $ d\vec{r}_2 $ são elementos de comprimento dos fios 1 e 2.
- $ \vec{r}_1 $ e $ \vec{r}_2 $ são as posições desses elementos.
Essa expressão calcula a força resultante entre os dois fios tomando em conta todas as interações infinitesimais entre segmentos dos fios.
Passo 3
Como os fios são paralelos e infinitos, podemos simplificar bastante a expressão. Vamos assumir que os fios estão alinhados no eixo $ z $ e separados por uma distância $ d $. Assim, podemos parametrizar os fios com coordenadas ao longo do $ z $:
- Fio 1: $ \vec{r}_1 = (0, 0, z_1) $
- Fio 2: $ \vec{r}_2 = (d, 0, z_2) $
Os elementos de comprimento são então $ d\vec{r}_1 = (0, 0, dz_1) $ e $ d\vec{r}_2 = (0, 0, dz_2) $.
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor $ \vec{r}_2 - \vec{r}_1 $:
E a magnitude desse vetor:
Como os fios são infinitos e paralelos, a interação depende apenas da distância perpendicular $ d $ entre eles, e a contribuição ao longo do comprimento do fio é a mesma.
Passo 5
Integrando ao longo de todo o comprimento dos fios e considerando a simetria, a força total $ \vec{F} $ entre os fios pode ser simplificada para uma força por unidade de comprimento $ f $:
Resposta
A força por unidade de comprimento entre os dois fios paralelos infinitos é: