Utilize a fórmula
F1 2=-mu0 I1 I24 pi integralpartial S2 integralpartial S1(d r2 cdot d r1) (r2-r1)|r2-r1|^3
para calcular a força por unidade de comprimento f entre dois fios paralelos infinitos com correntes I1 e I2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a força por unidade de comprimento $ f $ entre dois fios paralelos infinitos que transportam correntes $ I_1 $ e $ I_2 $. O conteúdo envolvido aqui é a Eletromagnetismo, mais especificamente a interação entre correntes elétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da força entre duas distribuições de corrente, que envolve integrais e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que foi dada:
F1 2 = -mu0 I1 I24 pi integralpartial S2 integralpartial S1 (d r2 cdot d r1) (r2 - r1)|r2 - r1|^3
Aqui:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade magnética do vácuo.
  • $ I_1 $ e $ I_2 $ são as correntes nos fios 1 e 2.
  • $ d\vec{r}_1 $ e $ d\vec{r}_2 $ são elementos de comprimento dos fios 1 e 2.
  • $ \vec{r}_1 $ e $ \vec{r}_2 $ são as posições desses elementos.
Essa expressão calcula a força resultante entre os dois fios tomando em conta todas as interações infinitesimais entre segmentos dos fios.

Passo 3

Como os fios são paralelos e infinitos, podemos simplificar bastante a expressão. Vamos assumir que os fios estão alinhados no eixo $ z $ e separados por uma distância $ d $. Assim, podemos parametrizar os fios com coordenadas ao longo do $ z $:
  • Fio 1: $ \vec{r}_1 = (0, 0, z_1) $
  • Fio 2: $ \vec{r}_2 = (d, 0, z_2) $
Os elementos de comprimento são então $ d\vec{r}_1 = (0, 0, dz_1) $ e $ d\vec{r}_2 = (0, 0, dz_2) $.

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor $ \vec{r}_2 - \vec{r}_1 $:
r2 - r1
E a magnitude desse vetor:
r2 - r1 = (d, 0, z2 - z1)
Como os fios são infinitos e paralelos, a interação depende apenas da distância perpendicular $ d $ entre eles, e a contribuição ao longo do comprimento do fio é a mesma.

Passo 5

Integrando ao longo de todo o comprimento dos fios e considerando a simetria, a força total $ \vec{F} $ entre os fios pode ser simplificada para uma força por unidade de comprimento $ f $:
F

Resposta

A força por unidade de comprimento entre os dois fios paralelos infinitos é:
f = mu0 I1 I22 pi d

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