Dado um círculo de raio 5 cm , como podemos demonstrar que a fórmula para a área do círculo é
?
Passo 1
A questão dá um círculo de raio 5 cm e pede para mostrar por que a área de um círculo de raio r é dada por
. Vamos usar geometria elementar e uma ideia de limite para chegar a essa fórmula.
Passo 2
Dividimos o círculo em
setores circulares iguais. Cada setor tem ângulo central
. Se você rearranjar esses setores alternadamente (virando um de cabeça para baixo), eles formam uma figura que, à medida que
cresce, se aproxima de um paralelogramo.
Passo 3
Nesse paralelogramo aproximado, a altura é o raio
do círculo, e a base é aproximadamente metade da circunferência do círculo original.
Passo 4
Como a área de um paralelogramo é base vezes altura, a área do círculo fica estimada por
onde
é o comprimento da circunferência.
Passo 5
Sabendo que o comprimento da circunferência de raio
é
, substituímos em
e obtemos
Como isso vale para qualquer
grande, no limite
a área exata do círculo é
Passo 6
Portanto, demonstramos que a área de um círculo de raio
é
. Aplicando ao caso dado, com
cm, obtemos
cm
.
Resposta
A=\pi r^2 e, para r=5,cm, A=25\pi,cm^2