Dado um círculo de raio 5 cm , como podemos demonstrar que a fórmula para a área do círculo é A=pi r^2 ?

Passo 1

A questão dá um círculo de raio 5 cm e pede para mostrar por que a área de um círculo de raio r é dada por A=pi r^2. Vamos usar geometria elementar e uma ideia de limite para chegar a essa fórmula.

Passo 2

Dividimos o círculo em n setores circulares iguais. Cada setor tem ângulo central 2pi/n. Se você rearranjar esses setores alternadamente (virando um de cabeça para baixo), eles formam uma figura que, à medida que n cresce, se aproxima de um paralelogramo.

Passo 3

Nesse paralelogramo aproximado, a altura é o raio r do círculo, e a base é aproximadamente metade da circunferência do círculo original.

Passo 4

Como a área de um paralelogramo é base vezes altura, a área do círculo fica estimada por
An = l(tfrac12,Cr)times r
onde C é o comprimento da circunferência.

Passo 5

Sabendo que o comprimento da circunferência de raio r é C=2pi r, substituímos em An e obtemos
An=l(tfrac12cdot2pi rr),r=pi r^2
Como isso vale para qualquer n grande, no limite ntoinfty a área exata do círculo é
A=pi r^2

Passo 6

Portanto, demonstramos que a área de um círculo de raio r é A=pi r^2. Aplicando ao caso dado, com r=5 cm, obtemos A=25pi cm ^2.

Resposta

A=\pi r^2 e, para r=5,cm, A=25\pi,cm^2

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