A desigualdade
significa que a diferença
é um número positivo. Usando o fato de que o produto de dois números positivos é positivo, prove as seguintes afirmações:
Se
, então
para todo inteiro
, e
para todo inteiro
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado
, a)
para todo inteiro
e b)
para todo inteiro
, usando apenas a ideia de que o produto de dois números positivos é positivo e propriedades de desigualdades.
Passo 2
Prova de
para
por indução:
Base ( ):
Base (
Temos
o que confirma a base.
Hipótese de indução: suponha que para algum valha
Hipótese de indução: suponha que para algum
Passo indutivo: como
, multiplicando
por
temos
E como
, multiplicando
por
obtemos
Pela transitividade das desigualdades segue
Isso fecha a indução, logo
para todo inteiro
.
Passo 3
Prova de
para
:
Seja . Da parte anterior já sabemos que
Seja
Como
e
, ao inverter a desigualdade obtemos
Justificativa rápida: se
então
logo
. Mas
e
, de modo que
Resposta
Concluímos que, para
, vale
para todo inteiro
e vale
para todo inteiro
.