A desigualdade x significa que a diferença y-x é um número positivo. Usando o fato de que o produto de dois números positivos é positivo, prove as seguintes afirmações:
Se 0, então x^n para todo inteiro n>0, e y^n para todo inteiro n<0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado 0, a) x^n para todo inteiro n>0 e b) y^n para todo inteiro n<0, usando apenas a ideia de que o produto de dois números positivos é positivo e propriedades de desigualdades.

Passo 2

Prova de x^n para n>0 por indução:
Base ( n=1):
Temos
x^1 = x < y = y^1
o que confirma a base.
Hipótese de indução: suponha que para algum k>=1 valha
x^k < y^k
Passo indutivo: como x>0, multiplicando x^k por x temos
x^k+1 = x^k ,x < y^k ,x
E como y^k>0, multiplicando x por y^k obtemos
x,y^k < y^k+1 = y^k,y
Pela transitividade das desigualdades segue
x^k+1 < y^k+1
Isso fecha a indução, logo x^n para todo inteiro n>0.

Passo 3

Prova de y^n para n<0:
Seja m=-n>0. Da parte anterior já sabemos que
x^m < y^m
Como x^m>0 e y^m>0, ao inverter a desigualdade obtemos
1y^m < 1x^m
Justificativa rápida: se 0 então
1a - 1b = b-aab >0,
logo 1/b<1/a. Mas 1/y^m=y^-m=y^n e 1/x^m=x^-m=x^n, de modo que
y^n < x^n

Resposta

Concluímos que, para 0, vale x^n para todo inteiro n>0 e vale y^n para todo inteiro n<0.

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