Demonstre que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O conteúdo envolvido é o Teorema de Pitágoras, e vamos usar semelhança de triângulos para chegar lá.

Passo 2

Considere o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, de modo que AB seja a hipotenusa e AC e BC sejam os catetos. Trace a altura CD até a hipotenusa AB, onde D é o pé da perpendicular. Essa construção gera dois triângulos menores dentro do grande.

Passo 3

Mostre que os triângulos ABC, ACD e CDB são semelhantes. De fato, todos têm um ângulo reto e compartilham ângulos agudos: no triângulo ACD o ângulo em A é igual ao ângulo em A de ABC, e no triângulo CDB o ângulo em B é igual ao ângulo em B de ABC. Pela propriedade AA (ângulo-ângulo), esses triângulos são semelhantes ao original.

Passo 4

Da semelhança entre os triângulos ABC e ACD vem a proporção de lados correspondentes:
ACAB = ADAC
Multiplicando em cruz resulta em
AC^2 = AB cdot AD.
De modo análogo, da semelhança entre ABC e CDB obtemos
BCAB = BDBC
que leva a
BC^2 = AB cdot BD.

Passo 5

Some-se as duas igualdades obtidas:
AC^2 + BC^2 = AB cdot AD + AB cdot BD = AB ,(AD + BD)
Como D está sobre AB, temos AD + BD = AB. Logo,
AC^2 + BC^2 = AB cdot AB = AB^2
Isso demonstra que o quadrado da hipotenusa AB é igual à soma dos quadrados dos catetos AC e BC.

Resposta

Portanto, no triângulo retângulo ABC tem-se AB^2 = AC^2 + BC^2.

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