Demonstre que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O conteúdo envolvido é o Teorema de Pitágoras, e vamos usar semelhança de triângulos para chegar lá.
Passo 2
Considere o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, de modo que AB seja a hipotenusa e AC e BC sejam os catetos. Trace a altura CD até a hipotenusa AB, onde D é o pé da perpendicular. Essa construção gera dois triângulos menores dentro do grande.
Passo 3
Mostre que os triângulos ABC, ACD e CDB são semelhantes. De fato, todos têm um ângulo reto e compartilham ângulos agudos: no triângulo ACD o ângulo em A é igual ao ângulo em A de ABC, e no triângulo CDB o ângulo em B é igual ao ângulo em B de ABC. Pela propriedade AA (ângulo-ângulo), esses triângulos são semelhantes ao original.
Passo 4
Da semelhança entre os triângulos ABC e ACD vem a proporção de lados correspondentes:
Multiplicando em cruz resulta em
De modo análogo, da semelhança entre ABC e CDB obtemos
que leva a
Passo 5
Some-se as duas igualdades obtidas:
Como D está sobre AB, temos
Isso demonstra que o quadrado da hipotenusa AB é igual à soma dos quadrados dos catetos AC e BC.
Resposta
Portanto, no triângulo retângulo ABC tem-se
.