Dado o conjunto B=\{\emptyset, 2,\{2,3\},\{4\}, 7, d\}, assinale V ou F nas sentenças abaixo. Justifique suas respostas.
\emptyset \in B

Passo 1

O enunciado dá o conjunto B=\{\emptyset, 2,\{2,3\},\{4\}, 7, d\}.
A pergunta é: a sentença \emptyset \in B é verdadeira (V) ou falsa (F)? Justificar.

Passo 2

O que significa o símbolo \in?
  • A expressão x\in A quer dizer “ x é um elemento (ou membro) do conjunto A”.
  • Isso é diferente de x\subseteq A ou x\subset A, que dizem que x é um subconjunto de A. Um conjunto pode ser elemento de outro conjunto; e também pode ser subconjunto dele — são coisas distintas. Exemplos para ficar claro: se C=\{1,\{1\}\} então 1\in C e \{1\}\in C, mas 1\not\subset C (porque 1 não é conjunto) e \{1\}\subset C é verdadeiro.

Passo 3

O que é \emptyset?
  • \emptyset é o conjunto vazio, isto é, o conjunto que não tem elementos. Há exatamente um conjunto vazio.
  • Uma propriedade útil: \emptyset é subconjunto de todo conjunto, ou seja, \emptyset\subseteq A para qualquer conjunto A. Isso não implica automaticamente que \emptyset seja elemento de A; ser subconjunto é diferente de ser elemento.

Passo 4

Aplicando ao conjunto B: verificar se o conjunto vazio aparece como elemento na lista que define B. O conjunto B foi escrito explicitamente como
B=\{\emptyset,\, 2,\,\{2,3\},\,\{4\},\,7,\,d\}.
Aqui o primeiro elemento listado é exatamente \emptyset. Portanto o conjunto vazio está listado como um elemento de B. Logo \emptyset\in B é verdadeiro.
Observação didática (para evitar confusão): tanto \emptyset\in B quanto \emptyset\subseteq B são verdadeiros neste caso (a primeira porque \emptyset aparece como elemento de B; a segunda porque o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto). Compare com outro exemplo: \{4\}\in B é verdadeiro, mas 4\in B é falso (porque 4 não aparece isoladamente em B; aparece apenas o conjunto \{4\}) — isso mostra bem a diferença entre elemento e subconjunto.

Passo 5

Conclusão: a sentença pedida é verdadeira, com justificativa direta no fato de \emptyset constar como elemento na definição de B.

Resposta

V

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