Dado o conjunto e a equação diferencial ordinária de segunda ordem
Verifique se o conjunto forma um conjunto fundamental de solução para essa EDO dada. Apresente sua solução de forma detalhada!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
E um conjunto de funções:
O objetivo é verificar se esse conjunto $ A $ forma um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente sobre soluções de EDOs lineares homogêneas e como verificar a independência linear das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral da solução depende das raízes da equação característica associada.
Passo 3
Construímos a equação característica substituindo $ y = e^{r x} $:
Resolvendo para $ r $:
Como as raízes são complexas, a solução geral da EDO é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.
Passo 4
Observamos que as funções $ \cos (\sqrt{3}, x) $ e $ \sin (\sqrt{3}, x) $ aparecem exatamente na solução geral da EDO. Isso indica que elas são soluções da equação.
Passo 5
Para confirmar que o conjunto $ A $ é fundamental, precisamos verificar se as funções são linearmente independentes. Isso pode ser feito calculando o Wronskiano das funções.
O Wronskiano de duas funções $ f $ e $ g $ é dado por:
Passo 6
Calculando o Wronskiano para $ \cos (\sqrt{3}, x) $ e $ \sin (\sqrt{3}, x) $:
Primeiro, encontramos as derivadas:
cos (raiz3, x)
Agora, calculamos o Wronskiano:
sin (raiz3, x)
Simplificando:
f(x) = cos (raiz3, x) f'(x) = -raiz3 sin (raiz3, x) g(x) = sin (raiz3, x) g'(x) = raiz3 cos (raiz3, x)
Passo 7
Como o Wronskiano $ W(f, g)(x) = \sqrt{3} $ é diferente de zero para todo valor de $ x $, isso significa que as funções $ \cos (\sqrt{3}, x) $ e $ \sin (\sqrt{3}, x) $ são linearmente independentes.
Resposta
Sim, o conjunto $ A = \left{ \cos (\sqrt{3}, x), \sin (\sqrt{3}, x) \right} $ forma um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada A = cos (raiz3, x), sin (raiz3, x) .