(2,5 pontos) Calcular a integral abaixo empregando coordenadas polares, onde
ê a região do primeiro quadrante delimitada por
,
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que pede a questão. Precisamos calcular a integral dupla $ I = \iint_{R} x , dy , dx $ usando coordenadas polares. A região $ R $ está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas $ x^{2} + y^{2} = 5 $, $ 2x^{2} + 2y^{2} = 3 $, $ y = x $ e $ y = 0 $. Para resolver isso, vamos transformar a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração adequados.
Passo 2
Vamos converter as equações dadas para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares temos:
e $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $.
Agora, vamos transformar cada uma das curvas que delimitam a região $ R $:
-
Círculo $ x^{2} + y^{2} = 5 $:
-
Círculo $ 2x^{2} + 2y^{2} = 3 $:
-
Reta $ y = x $:
-
Reta $ y = 0 $:
Passo 3
Com as equações em coordenadas polares prontas, podemos determinar os limites de integração. A região $ R $ está no primeiro quadrante ($ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4} $) e entre os círculos $ r = \sqrt{\frac{3}{2}} $ e $ r = \sqrt{5} $.
Portanto, nossa integral em coordenadas polares fica:
Aqui, $ x = r \cos\theta $ e o elemento de área $ dy , dx $ se transforma em $ r , dr , d\theta $.
Passo 4
Vamos simplificar a integral:
Primeiro, integramos em relação a $ r $:
Calculando os valores:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
A integral de $ \cos\theta $ é $ \sin\theta $, então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para $ I $:
Simplificando $ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $:
Resposta
A integral vale $ I = \dfrac{10,\sqrt{10},-,3,\sqrt{3}}{12} $.