Dado o problema de valor inicial
d y^2d z^2-4 y & =3 e^2 y(0) & =3 e y^prime(0)=3
Encontre a solução geral desse problema de valor inicial. Apresente sua solução de forma detalhada.
Apresente sua solução de forma detalhada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
d^2ydz^2 - 4y = 3 e^2
E as condições iniciais são:
y(0) = 3 e y'(0) = 3
Vamos resolver essa equação para encontrar a função $ y(z) $. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos constantes e encontrar a solução geral que satisfaz as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo constante. A equação homogênea é:
d^2ydz^2 - 4y = 0
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma $ y = e^{kz} $, onde $ k $ é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{kz} $ na equação homogênea:
y = e^kz
Como $ e^{kz} $ nunca é zero, temos que:
d^2dz^2 e^kz - 4 e^kz = 0 k^2 e^kz - 4 e^kz = 0 e^kz(k^2 - 4) = 0

Passo 4

Encontramos as raízes $ k = 2 $ e $ k = -2 $. Então, a solução geral da equação homogênea é:
k = 2
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
d^2ydz^2 - 4y = 3 e^2
Como o termo não homogêneo é uma constante ($ 3 e^{2} $), vamos tentar uma solução constante, ou seja, assumir que $ y_p = A $, onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.

Passo 6

Substituindo $ y_p = A $ na equação não homogênea:
yp = A
Então, a solução particular é:
d^2Adz^2 - 4A = 3 e^2 0 - 4A = 3 e^2 -4A = 3 e^2 A = -3 e^24

Passo 7

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(z) = yh(z) + yp = C1 e^2z + C2 e^-2z - 3 e^24

Passo 8

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 3 $:
C1 çã

Passo 9

Em seguida, vamos encontrar a derivada de $ y(z) $:
y(z)
Aplicamos a condição $ y’(0) = 3 $:
dydz = 2C1 e^2z - 2C2 e^-2z çã

Passo 10

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. $ C_1 + C_2 = 3 + \frac{3 e^{2}}{4} $
  2. $ 2C_1 - 2C_2 = 3 $
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos simplificar a Equação 2 dividindo ambos os lados por 2:
C1 + C2 = 3 + 3 e^24 çã
Agora, temos:
2C1 - 2C2 = 3
Somando as duas equações:
C1 - C2 = 32 (Equação 2 Simplificada)
Simplificando:
C1 + C2 = 3 + 3 e^24 C1 - C2 = 32

Passo 11

Agora, substituímos $ C_1 $ na Equação 2 Simplificada para encontrar $ C_2 $:
C1

Passo 12

Agora que temos $ C_1 $ e $ C_2 $, podemos escrever a solução geral completa:
C1
Podemos simplificar os coeficientes:
C2

Resposta

A solução geral do problema de valor inicial é:
y(z) = 3(6 + e^2)8 , e^2z + 3(2 + e^2)8 , e^-2z - 3 e^24

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