Dado o problema de valor inicial
Encontre a solução geral desse problema de valor inicial. Apresente sua solução de forma detalhada.
Apresente sua solução de forma detalhada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
E as condições iniciais são:
Vamos resolver essa equação para encontrar a função $ y(z) $. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos constantes e encontrar a solução geral que satisfaz as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo constante. A equação homogênea é:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma $ y = e^{kz} $, onde $ k $ é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{kz} $ na equação homogênea:
Como $ e^{kz} $ nunca é zero, temos que:
Passo 4
Encontramos as raízes $ k = 2 $ e $ k = -2 $. Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o termo não homogêneo é uma constante ($ 3 e^{2} $), vamos tentar uma solução constante, ou seja, assumir que $ y_p = A $, onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.
Passo 6
Substituindo $ y_p = A $ na equação não homogênea:
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 3 $:
Passo 9
Em seguida, vamos encontrar a derivada de $ y(z) $:
Aplicamos a condição $ y’(0) = 3 $:
Passo 10
Agora temos um sistema de duas equações:
- $ C_1 + C_2 = 3 + \frac{3 e^{2}}{4} $
- $ 2C_1 - 2C_2 = 3 $
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos simplificar a Equação 2 dividindo ambos os lados por 2:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Simplificando:
Passo 11
Agora, substituímos $ C_1 $ na Equação 2 Simplificada para encontrar $ C_2 $:
Passo 12
Agora que temos $ C_1 $ e $ C_2 $, podemos escrever a solução geral completa:
Podemos simplificar os coeficientes:
Resposta
A solução geral do problema de valor inicial é: