Determine os intervalos onde a função dada tem concavidade para cima e/ou para baixo. Calcule o(s) ponto(s) de inflexão (se existente(s)).
Passo 1
O exercício dá a função
e pede para encontrar onde ela é côncava para cima, onde é côncava para baixo e seus pontos de inflexão. Isso envolve usar derivadas até a segunda e aplicar os critérios de concavidade (
e
) e inflexão (
com troca de sinal).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas necessárias para estudar concavidade.
Passo 3
Para determinar concavidade, lembramos que:
- Se
, a curva é côncava para cima. - Se
, a curva é côncava para baixo.
Aqui
, então:
-
quando ⇒ . -
quando ⇒ .
Passo 4
Sabendo onde
é positivo ou negativo, para todo
:
Logo
(côncava para baixo) em
Logo
(côncava para cima) em
Passo 5
Para os pontos de inflexão, procuramos
, ou seja
Como
muda de sinal ao passar por
, todos esses são pontos de inflexão. Seus valores em
são
Portanto os pontos de inflexão são
para todo inteiro
.
Resposta
Concavidade para cima em
, concavidade para baixo em
, para todo
. Pontos de inflexão em
,
.