Determine os intervalos onde a função dada tem concavidade para cima e/ou para baixo. Calcule o(s) ponto(s) de inflexão (se existente(s)).
f(x)=x+2 sen(x)

Passo 1

O exercício dá a função f(x)=x+2sin(x) e pede para encontrar onde ela é côncava para cima, onde é côncava para baixo e seus pontos de inflexão. Isso envolve usar derivadas até a segunda e aplicar os critérios de concavidade ( f''>0 e f''<0) e inflexão ( f''=0 com troca de sinal).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas necessárias para estudar concavidade.
f'(x)=1+2cos(x)
f''(x)=-2sin(x)

Passo 3

Para determinar concavidade, lembramos que:
  • Se f''(x)>0, a curva é côncava para cima.
  • Se f''(x)<0, a curva é côncava para baixo.
Aqui f''(x)=-2sin(x), então:
  • f''(x)>0 quando -2sin(x)>0 sin(x)<0.
  • f''(x)<0 quando -2sin(x)<0 sin(x)>0.

Passo 4

Sabendo onde sin(x) é positivo ou negativo, para todo kinZ:
sin(x)>0 em
(2kpi,,(2k+1)pi)
Logo f''<0 (côncava para baixo) em
(2kpi,,(2k+1)pi)
sin(x)<0 em
((2k+1)pi,,(2k+2)pi)
Logo f''>0 (côncava para cima) em
((2k+1)pi,,(2k+2)pi)

Passo 5

Para os pontos de inflexão, procuramos f''(x)=0, ou seja
-2sin(x)=0Longrightarrow x=kpi, kinZ
Como sin(x) muda de sinal ao passar por x=kpi, todos esses são pontos de inflexão. Seus valores em y são
f(kpi)=kpi+2sin(kpi)=kpi
Portanto os pontos de inflexão são (kpi,,kpi) para todo inteiro k.

Resposta

Concavidade para cima em ((2k+1)pi,,(2k+2)pi), concavidade para baixo em (2kpi,,(2k+1)pi), para todo kinZ. Pontos de inflexão em (kpi,,kpi), kinZ.

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