Dado um conjunto finito de pontos de
, pretende-se determinar um modelo da forma
que melhor se ajusta no sentido acima ao conjunto de pontos dados. Mostre que, se
for o único ponto crítico da função
então
satisfaz as condições acima.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um conjunto finito de pontos em
, a reta
que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos é exatamente a reta obtida no ponto crítico único
da função
. O conteúdo é ajuste por mínimos quadrados e vamos precisar de derivadas parciais e da convexidade via Hessiana.
Passo 2
Calcular o gradiente de
e obter as equações normais. Temos
Passo 3
Igualando
surge o sistema
Esse sistema define
como ponto crítico de
.
Passo 4
Mostrar que
é estritamente convexa: calcule a Hessiana
Passo 5
O determinante dessa matriz (dividido por 2) é
logo
é positiva definida e
é estritamente convexa. Um ponto crítico único de uma função estritamente convexa é o mínimo global.
Passo 6
Como
é o único ponto crítico de
, ele minimiza
em todo
. Portanto a reta
é a que melhor se ajusta aos pontos no critério de mínimos quadrados.
é a que melhor se ajusta aos pontos no critério de mínimos quadrados.
Resposta
A reta y=αx+β é o minimizador global de S e, portanto, fornece o melhor ajuste em mínimos quadrados.