Dado um conjunto finito de pontos de R^2,(xi, yi): i in1, ldots, k, pretende-se determinar um modelo da forma y=a x+b que melhor se ajusta no sentido acima ao conjunto de pontos dados. Mostre que, se (alpha, beta) for o único ponto crítico da função
S: R^2 & R (a, b) & mapsto sumi=1^k(a xi+b-yi)^2,
então y=alpha x+beta satisfaz as condições acima.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um conjunto finito de pontos em R^2, a reta y=a x+b que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos é exatamente a reta obtida no ponto crítico único (alpha,beta) da função S(a,b)=sumi=1^k (a xi + b - yi)^2. O conteúdo é ajuste por mínimos quadrados e vamos precisar de derivadas parciais e da convexidade via Hessiana.

Passo 2

Calcular o gradiente de S e obter as equações normais. Temos
partial Spartial a=2sumi=1^k xil(a xi+b-yir),
partial Spartial b=2sumi=1^k l(a xi+b-yir)

Passo 3

Igualando nabla S=0 surge o sistema
sumi=1^k xi(a xi+b-yi)=0, sumi=1^k (a xi+b-yi)=0
Esse sistema define (alpha,beta) como ponto crítico de S.

Passo 4

Mostrar que S é estritamente convexa: calcule a Hessiana
H(a,b)= partial^2 Spartial a^2&partial^2 Spartial apartial b partial^2 Spartial bpartial a&partial^2 Spartial b^2 =2 sumi=1^k xi^2&sumi=1^k xi sumi=1^k xi&k

Passo 5

O determinante dessa matriz (dividido por 2) é
ksumi=1^k xi^2-l(sumi=1^k xir)^2=ksumi=1^k(xi-bar x)^2>0,
logo H é positiva definida e S é estritamente convexa. Um ponto crítico único de uma função estritamente convexa é o mínimo global.

Passo 6

Como (alpha,beta) é o único ponto crítico de S, ele minimiza S em todo R^2. Portanto a reta
y=alpha x+beta
é a que melhor se ajusta aos pontos no critério de mínimos quadrados.

Resposta

A reta y=αx+β é o minimizador global de S e, portanto, fornece o melhor ajuste em mínimos quadrados.

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