(a) Determine e classifique os pontos críticos de f.
(b) Determine o máximo e o mínimo de f em A=(x, y):-pi <= x <= pi,-pi <= y <= pi.
(Solução: mínimo -1 em (0,-pi2) e ( pm pi, pi2 ); máximo 1 em(0, pi2) e ( pm pi,-pi2) )

Passo 1

O enunciado pede pra f(x,y)=sin(x+y) achar os pontos críticos e depois os extremos globais no retângulo A=[-π,π]×[-π,π]. Vamos usar derivadas parciais e depois classificar com o teste da segunda derivada (ou diretamente pelo comportamento de sin).

Passo 2

Calcular as parciais:
A função é f(x,y)=sin(x+y), então
fx=∂f∂x=cos(x+y) e fy=∂f∂y=cos(x+y).
Para pontos críticos, igualamos a zero:
cos(x+y)=0 x+y=π2+kπ, com k inteiro.

Passo 3

Classificação dos pontos críticos:
Note que ao longo da reta x+y=t a função f=sin
at. Se t=π/2+2mπ, sin
at=1 e é máximo local; se t=π/2+(2m+1)π=3π/2+2mπ, sin
at=−1 e é mínimo local.

Passo 4

Como o domínio A é fechado e f contínua, os extremos globais ocorrem em pontos críticos que estejam em A. Assim procuramos soluções de x+y=π/2+kπ dentro de A.

Passo 5

Para máximo (sin=1) tomamos x+y=π/2+2mπ. As combinações em A são:
(0,π/2), (π,−π/2) e (−π,−π/2).
Para mínimo (sin=−1) tomamos x+y=3π/2+2mπ=−π/2+2(m+1)π. As combinações em A são:
(0,−π/2), (π,π/2) e (−π,π/2).

Resposta

mínimo -1 em (0,-pi2) e (pmpi,pi2); máximo 1 em (0,pi2) e (pm pi,-pi2)

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