(a) Determine e classifique os pontos críticos de
.
(b) Determine o máximo e o mínimo de
em
.
(Solução: mínimo -1 em
e (
); máximo
e
)
(b) Determine o máximo e o mínimo de
(Solução: mínimo -1 em
Passo 1
O enunciado pede pra f(x,y)=sin(x+y) achar os pontos críticos e depois os extremos globais no retângulo A=[-π,π]×[-π,π]. Vamos usar derivadas parciais e depois classificar com o teste da segunda derivada (ou diretamente pelo comportamento de sin).
Passo 2
Calcular as parciais:
A função é f(x,y)=sin(x+y), então
e
.
Para pontos críticos, igualamos a zero:
⇒
, com k inteiro.
A função é f(x,y)=sin(x+y), então
Para pontos críticos, igualamos a zero:
Passo 3
Classificação dos pontos críticos:
Note que ao longo da reta x+y=t a função f=sin
at. Se t=π/2+2mπ, sin
at=1 e é máximo local; se t=π/2+(2m+1)π=3π/2+2mπ, sin
at=−1 e é mínimo local.
Note que ao longo da reta x+y=t a função f=sin
at. Se t=π/2+2mπ, sin
at=1 e é máximo local; se t=π/2+(2m+1)π=3π/2+2mπ, sin
at=−1 e é mínimo local.
Passo 4
Como o domínio A é fechado e f contínua, os extremos globais ocorrem em pontos críticos que estejam em A. Assim procuramos soluções de x+y=π/2+kπ dentro de A.
Passo 5
Para máximo (sin=1) tomamos x+y=π/2+2mπ. As combinações em A são:
(0,π/2), (π,−π/2) e (−π,−π/2).
Para mínimo (sin=−1) tomamos x+y=3π/2+2mπ=−π/2+2(m+1)π. As combinações em A são:
(0,−π/2), (π,π/2) e (−π,π/2).
(0,π/2), (π,−π/2) e (−π,−π/2).
Para mínimo (sin=−1) tomamos x+y=3π/2+2mπ=−π/2+2(m+1)π. As combinações em A são:
(0,−π/2), (π,π/2) e (−π,π/2).
Resposta
mínimo
em
e
; máximo
em
e