Quais dos seguintes vectores podem ser escritos como combinação linear de
\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}, onde
\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 3 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{c} 3 \\\\ -1 \\\\ 5 \\\\ 2 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right] .
\left[\begin{array}{c}-4 \\\\ 6 \\\\ -13 \\\\ 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pergunta se o vetor
\begin{bmatrix}-4\\[4pt]6\\[4pt]-13\\[4pt]4\end{bmatrix}
pode ser escrito como combinação linear dos vetores
\mathbf{v}_{1}=\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]3\end{bmatrix},\qquad \mathbf{v}_{2}=\begin{bmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]5\\[4pt]2\end{bmatrix},\qquad \mathbf{v}_{3}=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]2\\[4pt]1\end{bmatrix}.
Informações dadas:
\mathbf{v}_1,\\ \mathbf{v}_2,\\ \mathbf{v}_3\\ \text{(cada um em }\mathbb{R}^4\text{)}
e o vetor alvo
\mathbf{t}=\begin{bmatrix}-4\\[4pt]6\\[4pt]-13\\[4pt]4\end{bmatrix}.
Pergunta explícita: existe escalares a,b,c tais que
a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3=\mathbf{t}?]

Passo 2

O que significa escrever \mathbf{t} como combinação linear de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3?
Significa que existem números (escalares) a,b,c tais que, componente a componente,
a\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]3\end{bmatrix} +b\begin{bmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]5\\[4pt]2\end{bmatrix} +c\begin{bmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]2\\[4pt]1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4\\[4pt]6\\[4pt]-13\\[4pt]4\end{bmatrix}.
Aqui a,b,c são incógnitas reais que multiplicam cada vetor base; nosso objetivo é encontrar esses valores ou provar que não existem.]

Passo 3

Escrevendo as equações das quatro componentes (cada linha dá uma equação):
primeira componente:
2a+3b-1\! \cdot c=-4,
segunda componente:
a - b + 0\! \cdot c=6,
terceira componente:
0\! \cdot a+5b+2c=-13,
quarta componente:
3a+2b+c=4.
Vou simplificar a escrita das equações:
\begin{cases} 2a+3b-c=-4,\\[4pt] a-b=6,\\[4pt] 5b+2c=-13,\\[4pt] 3a+2b+c=4. \end{cases}
Cada equação corresponde a igualar a soma das componentes à componente do vetor alvo.]

Passo 4

Escolho um método simples: eliminação por substituição usando a equação mais direta. A segunda equação é a mais simples, então isolo a:
a-b=6 \implies a=6+b.
Explico rapidamente: isolar significa escrever a em função de b porque facilita substituir nas outras equações e reduzir o número de incógnitas.

Passo 5

Substituo a=6+b na primeira equação 2a+3b-c=-4:
2(6+b)+3b-c=-4.
Faço as contas passo a passo:
12+2b+3b-c=-4 \implies 5b-c=-16.
Isolando c obtenho:
c=16+5b.
Expliquei: somei termos em b e levei o 12 para o outro lado.

Passo 6

Agora uso a terceira equação 5b+2c=-13. Substituo c=16+5b:
5b+2(16+5b)=-13.
Calculo:
5b+32+10b=-13 \implies 15b=-45.
Logo
b=-3.
Passo a passo: somei 5b+10b=15b e depois subtraí 32 de ambos os lados para isolar b.

Passo 7

Com b=-3 encontro a e c usando as expressões antigas:
a=6+b=6+(-3)=3,
c=16+5b=16+5(-3)=16-15=1.
Portanto os candidatos são \,a=3,\\ b=-3,\\ c=1.

Passo 8

Sempre que achar uma solução, devo verificar que ela satisfaz todas as equações (principalmente porque tínhamos quatro equações para três incógnitas; precisão nessa verificação é importante).
Verifico a quarta equação 3a+2b+c=4 com os valores encontrados:
3\cdot 3 + 2\cdot(-3) + 1 = 9 -6 +1 =4,
que coincide com o lado direito da equação. Já verificamos implicitamente as primeiras três ao usar e resolver; esta verificação final garante consistência com todas as quatro componentes.

Passo 9

Concluo que existe, sim, uma combinação linear: os escalares são a=3, b=-3, c=1. Em forma de combinação:
3\mathbf{v}_1-3\mathbf{v}_2+1\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix}-4\\[4pt]6\\[4pt]-13\\[4pt]4\end{bmatrix}.
Isso responde à pergunta: o vetor dado pertence ao espaço gerado por \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}.]

Resposta

\begin{bmatrix}-4\\[4pt]6\\[4pt]-13\\[4pt]4\end{bmatrix} =3\mathbf{v}_1-3\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3]

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