O que significa escrever \mathbf{t} como combinação linear de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3?
Significa que existem números (escalares) a,b,c tais que, componente a componente,
Cada equação corresponde a igualar a soma das componentes à componente do vetor alvo.]
Passo 4
Escolho um método simples: eliminação por substituição usando a equação mais direta. A segunda equação é a mais simples, então isolo a:
a-b=6 \implies a=6+b.
Explico rapidamente: isolar significa escrever a em função de b porque facilita substituir nas outras equações e reduzir o número de incógnitas.
Passo 5
Substituo a=6+b na primeira equação 2a+3b-c=-4:
2(6+b)+3b-c=-4.
Faço as contas passo a passo:
12+2b+3b-c=-4 \implies 5b-c=-16.
Isolando c obtenho:
c=16+5b.
Expliquei: somei termos em b e levei o 12 para o outro lado.
Passo 6
Agora uso a terceira equação 5b+2c=-13. Substituo c=16+5b:
5b+2(16+5b)=-13.
Calculo:
5b+32+10b=-13 \implies 15b=-45.
Logo
b=-3.
Passo a passo: somei 5b+10b=15b e depois subtraí 32 de ambos os lados para isolar b.
Passo 7
Com b=-3 encontro a e c usando as expressões antigas:
a=6+b=6+(-3)=3,
c=16+5b=16+5(-3)=16-15=1.
Portanto os candidatos são \,a=3,\\ b=-3,\\ c=1.
Passo 8
Sempre que achar uma solução, devo verificar que ela satisfaz todas as equações (principalmente porque tínhamos quatro equações para três incógnitas; precisão nessa verificação é importante).
Verifico a quarta equação 3a+2b+c=4 com os valores encontrados:
3\cdot 3 + 2\cdot(-3) + 1 = 9 -6 +1 =4,
que coincide com o lado direito da equação. Já verificamos implicitamente as primeiras três ao usar e resolver; esta verificação final garante consistência com todas as quatro componentes.
Passo 9
Concluo que existe, sim, uma combinação linear: os escalares são a=3, b=-3, c=1. Em forma de combinação: