Encontra um conjunto gerador para o subespaço de
definido por
.
Passo 1
O enunciado pede: "Encontra um conjunto gerador para o subespaço de
definido por
".
Informações dadas: a condição que define o subespaço é a equação linear
Informações dadas: a condição que define o subespaço é a equação linear
Objetivo explícito: fornecer um conjunto de vetores de
cujo conjunto de combinações lineares é exatamente o conjunto de todos os vetores que satisfazem a equação acima (ou seja, um conjunto gerador do subespaço).
Passo 2
Estratégia prática (sem tecnicismos ainda): resolver a equação para uma das coordenadas em função das outras, escolher variáveis livres (parâmetros) e escrever o vetor genérico do subespaço como combinação linear de vetores geradores. Isso transforma a equação em forma paramétrica, que é a forma usual para encontrar um gerador.
Passo 3
Escolhemos expressar
em função de
. A partir de
isolamos
:
Aqui
serão as variáveis livres (parâmetros).
Passo 4
Introduzimos parâmetros para as variáveis livres: seja
,
e
. Então o vetor genérico
pode ser escrito como
Agora vamos separar isso em combinação linear de vetores multiplicados pelos parâmetros
.
Passo 5
Reescrevendo
como combinação linear:
Explicação didática: cada parâmetro multiplica um vetor fixo; somando essas contribuições obtemos qualquer vetor que satisfaça a equação inicial. Assim, os três vetores mostrados geram todo o subespaço.
Passo 6
Verificação rápida (como provar que geram): seja
qualquer vetor que satisfaça
. Definindo
, pela construção acima
. Logo qualquer vetor do subespaço é combinação linear desses três vetores — eles formam, portanto, um conjunto gerador. Observação extra: o subespaço tem dimensão
(uma equação linear independente em
), então esperar três geradores faz sentido.