Encontra um conjunto gerador para o subespaço de \mathbb{R}^{4} definido por x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0.

Passo 1

O enunciado pede: "Encontra um conjunto gerador para o subespaço de \mathbb{R}^{4} definido por x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0".
Informações dadas: a condição que define o subespaço é a equação linear
x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0.
Objetivo explícito: fornecer um conjunto de vetores de \mathbb{R}^{4} cujo conjunto de combinações lineares é exatamente o conjunto de todos os vetores que satisfazem a equação acima (ou seja, um conjunto gerador do subespaço).

Passo 2

Estratégia prática (sem tecnicismos ainda): resolver a equação para uma das coordenadas em função das outras, escolher variáveis livres (parâmetros) e escrever o vetor genérico do subespaço como combinação linear de vetores geradores. Isso transforma a equação em forma paramétrica, que é a forma usual para encontrar um gerador.

Passo 3

Escolhemos expressar x_{1} em função de x_{2},x_{3},x_{4}. A partir de
x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0
isolamos x_{1}:
x_{1}=x_{2}-x_{3}+x_{4}.
Aqui x_{2},x_{3},x_{4} serão as variáveis livres (parâmetros).

Passo 4

Introduzimos parâmetros para as variáveis livres: seja s=x_{2}, t=x_{3} e u=x_{4}. Então o vetor genérico \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) pode ser escrito como
\mathbf{x}=(s-t+u,\; s,\; t,\; u).
Agora vamos separar isso em combinação linear de vetores multiplicados pelos parâmetros s,t,u.

Passo 5

Reescrevendo \mathbf{x} como combinação linear:
\mathbf{x}=s(1,1,0,0)+t(-1,0,1,0)+u(1,0,0,1).
Explicação didática: cada parâmetro multiplica um vetor fixo; somando essas contribuições obtemos qualquer vetor que satisfaça a equação inicial. Assim, os três vetores mostrados geram todo o subespaço.

Passo 6

Verificação rápida (como provar que geram): seja \mathbf{v} qualquer vetor que satisfaça x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0. Definindo s=x_{2},t=x_{3},u=x_{4}, pela construção acima \mathbf{v}=s(1,1,0,0)+t(-1,0,1,0)+u(1,0,0,1). Logo qualquer vetor do subespaço é combinação linear desses três vetores — eles formam, portanto, um conjunto gerador. Observação extra: o subespaço tem dimensão 3 (uma equação linear independente em \mathbb{R}^{4}), então esperar três geradores faz sentido.

Resposta

\{(1,1,0,0),\;(-1,0,1,0),\;(1,0,0,1)\}

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