Responda verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique:
( ) Todo conjunto que contém um subconjunto LD é LD.
( ) Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.
( ) Todo conjunto que contém dois vetores iguais é LI.
( ) Todo conjunto que contém o vetor nulo é LI.
( ) Todo conjunto que contém um subconjunto LD é LD.
( ) Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.
( ) Todo conjunto que contém dois vetores iguais é LI.
( ) Todo conjunto que contém o vetor nulo é LI.
Passo 1
O enunciado pede para responder verdadeiro (V) ou falso (F) para quatro afirmações sobre dependência/independência linear, e justificar cada resposta. As quatro afirmações são (vou numerá‑las para ficar claro):
- Todo conjunto que contém um subconjunto
é . - Todo subconjunto de um conjunto
é . - Todo conjunto que contém dois vetores iguais é
. - Todo conjunto que contém o vetor nulo é
.
Informações dadas: apenas essas quatro proposições; não há restrição sobre o espaço vetorial (pode ser
ou qualquer espaço vetorial). Vou usar a definição padrão de dependência/independência linear e provar ou dar contra‑exemplo conforme necessário.
Passo 2
Definição básica (muito importante — memorize de um jeito simples):
- Um conjunto de vetores
é linearmente dependente ( ) se existem escalares , nem todos nulos, tais que
Isto significa que existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero.
- Um conjunto
é linearmente independente ( ) se a única combinação linear que produz é a trivial, ou seja, .
Explicando com palavras: em
dá para escrever pelo menos um dos vetores como combinação linear dos outros; em
isso não é possível. Essas definições valem independentemente de estarmos em
ou outro espaço vetorial.
Passo 3
DuAS propriedades úteis (provas simples que vou usar):
- Se um conjunto
é e , então é . Raciocínio: a relação linear não trivial que existe entre vetores de continua válida quando os mesmos vetores são vistos como elementos de .
Formalmente: se existem, nem todos zero, com e , então essa mesma combinação mostra que é . - Se
é e , então é . Prova por contradição: suponha que seja , então existem coeficientes não todos nulos com combinação nula entre vetores de . Estendendo esses coeficientes por zeros aos vetores de obtém‑se uma combinação linear não trivial em que dá zero, contradizendo que é . Logo deve ser .
Essas duas propriedades já resolvem, de forma conceitual, as afirmações 1 e 2: a primeira tende a ser verdadeira (superset de LD é LD) e a segunda também verdadeira (subset de LI é LI). Vou formalizar nos próximos passos.
Passo 4
Afirmação 1: “Todo conjunto que contém um subconjunto
é
.”
Prova direta (usando a definição): seja
um subconjunto
e
. Como
é
, existem escalares
, nem todos nulos, tais que
com
. Como cada
também pertence a
, a mesma combinação é uma combinação linear não trivial entre elementos de
que resulta em
. Logo
é
. Portanto a afirmação 1 é verdadeira.
Intuição rápida: se dentro do seu conjunto já existe um grupo de vetores que “se apóiam” linearmente (dependem entre si), então o conjunto maior não pode ser independente — a dependência continua valendo.
Passo 5
Afirmação 2: “Todo subconjunto de um conjunto
é
.”
Prova (formal e direta): suponha
é
e seja
. Se
fosse
, existiriam escalares
, nem todos zero, com
onde
. Defina coeficientes para todos os vetores de
atribuindo aos vetores que não estão em
o coeficiente zero. Assim obtém‑se uma combinação linear não trivial de vetores de
que dá
, contradizendo que
é
. Logo
deve ser
. Portanto a afirmação 2 é verdadeira.
Exemplo ilustrativo: se
é
em
, então qualquer subconjunto como
também é
.
Passo 6
Afirmação 3: “Todo conjunto que contém dois vetores iguais é
.”
Vamos analisar: se um conjunto contém dois vetores iguais, por exemplo
e outra cópia
, então já existe uma combinação linear não trivial que dá zero:
os coeficientes
e
não são todos zero. Isso mostra que o conjunto é
, não
. Portanto a afirmação que diz que tal conjunto é
é falsa.
Contra‑exemplo explícito e bem simples: no
considere o conjunto
Tomando coeficientes
e
obtemos
logo o conjunto é
. Conclusão: afirmação 3 é falsa.
Passo 7
Afirmação 4: “Todo conjunto que contém o vetor nulo é
.”
Análise: se um conjunto contém o vetor nulo
, então existe imediatamente uma combinação linear não trivial que soma zero: escolher coeficiente
na entrada do vetor nulo e
para os outros vetores produz
onde o conjunto de coeficientes não é todo zero (pelo menos o primeiro é
). Logo qualquer conjunto que contenha
é
, não
. Portanto a afirmação é falsa.
Contra‑exemplo imediato: o conjunto
(só o vetor nulo) é dependente, pois
já é combinação não trivial. Assim afirmação 4 é falsa.
Passo 8
Resumo final e motivação: as duas primeiras afirmações são verdadeiras porque dependência/independência se propaga de forma óbvia entre subconjuntos e superconjuntos (se tem uma dependência dentro, o conjunto maior também depende; se o conjunto maior é independente, nenhum subconjunto pode ser dependente). As últimas duas são falsas por contra‑exemplos elementares: vetores repetidos e o vetor nulo criam combinações lineares não triviais que anulam, portanto implicam dependência.
Força aí — você já destrinchou o porquê de cada resposta e tem exemplos prontos para a prova!
Resposta
V
V
F
F
V
F
F