Responda verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique:
( ) Todo conjunto que contém um subconjunto LD é LD.
( ) Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.
( ) Todo conjunto que contém dois vetores iguais é LI.
( ) Todo conjunto que contém o vetor nulo é LI.

Passo 1

O enunciado pede para responder verdadeiro (V) ou falso (F) para quatro afirmações sobre dependência/independência linear, e justificar cada resposta. As quatro afirmações são (vou numerá‑las para ficar claro):
  1. Todo conjunto que contém um subconjunto \text{LD} é \text{LD}.
  2. Todo subconjunto de um conjunto \text{LI} é \text{LI}.
  3. Todo conjunto que contém dois vetores iguais é \text{LI}.
  4. Todo conjunto que contém o vetor nulo é \text{LI}.
Informações dadas: apenas essas quatro proposições; não há restrição sobre o espaço vetorial (pode ser \mathbb{R}^n ou qualquer espaço vetorial). Vou usar a definição padrão de dependência/independência linear e provar ou dar contra‑exemplo conforme necessário.

Passo 2

Definição básica (muito importante — memorize de um jeito simples):
  • Um conjunto de vetores S=\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\} é linearmente dependente ( \text{LD}) se existem escalares \alpha_1,\dots,\alpha_k, nem todos nulos, tais que
\alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+\cdots+\alpha_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}.
Isto significa que existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero.
  • Um conjunto S é linearmente independente ( \text{LI}) se a única combinação linear que produz \mathbf{0} é a trivial, ou seja, \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0.
Explicando com palavras: em \text{LD} dá para escrever pelo menos um dos vetores como combinação linear dos outros; em \text{LI} isso não é possível. Essas definições valem independentemente de estarmos em \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3 ou outro espaço vetorial.

Passo 3

DuAS propriedades úteis (provas simples que vou usar):
  • Se um conjunto A é \text{LD} e A\subseteq S, então S é \text{LD}. Raciocínio: a relação linear não trivial que existe entre vetores de A continua válida quando os mesmos vetores são vistos como elementos de S.
    Formalmente: se existem \alpha_i, nem todos zero, com \sum_{i=1}^k\alpha_i\mathbf{a}_i=\mathbf{0} e \{\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_k\}\subseteq S, então essa mesma combinação mostra que S é \text{LD}.
  • Se S é \text{LI} e T\subseteq S, então T é \text{LI}. Prova por contradição: suponha que T seja \text{LD}, então existem coeficientes não todos nulos com combinação nula entre vetores de T. Estendendo esses coeficientes por zeros aos vetores de S\setminus T obtém‑se uma combinação linear não trivial em S que dá zero, contradizendo que S é \text{LI}. Logo T deve ser \text{LI}.
Essas duas propriedades já resolvem, de forma conceitual, as afirmações 1 e 2: a primeira tende a ser verdadeira (superset de LD é LD) e a segunda também verdadeira (subset de LI é LI). Vou formalizar nos próximos passos.

Passo 4

Afirmação 1: “Todo conjunto que contém um subconjunto \text{LD} é \text{LD}.”
Prova direta (usando a definição): seja A um subconjunto \text{LD} e A\subseteq S. Como A é \text{LD}, existem escalares \alpha_1,\dots,\alpha_k, nem todos nulos, tais que
\alpha_1\mathbf{a}_1+\cdots+\alpha_k\mathbf{a}_k=\mathbf{0},
com \mathbf{a}_i\in A. Como cada \mathbf{a}_i também pertence a S, a mesma combinação é uma combinação linear não trivial entre elementos de S que resulta em \mathbf{0}. Logo S é \text{LD}. Portanto a afirmação 1 é verdadeira.
Intuição rápida: se dentro do seu conjunto já existe um grupo de vetores que “se apóiam” linearmente (dependem entre si), então o conjunto maior não pode ser independente — a dependência continua valendo.

Passo 5

Afirmação 2: “Todo subconjunto de um conjunto \text{LI} é \text{LI}.”
Prova (formal e direta): suponha S é \text{LI} e seja T\subseteq S. Se T fosse \text{LD}, existiriam escalares \beta_1,\dots,\beta_m, nem todos zero, com
\beta_1\mathbf{t}_1+\cdots+\beta_m\mathbf{t}_m=\mathbf{0},
onde \mathbf{t}_i\in T. Defina coeficientes para todos os vetores de S atribuindo aos vetores que não estão em T o coeficiente zero. Assim obtém‑se uma combinação linear não trivial de vetores de S que dá \mathbf{0}, contradizendo que S é \text{LI}. Logo T deve ser \text{LI}. Portanto a afirmação 2 é verdadeira.
Exemplo ilustrativo: se \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} é \text{LI} em \mathbb{R}^3, então qualquer subconjunto como \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_3\} também é \text{LI}.

Passo 6

Afirmação 3: “Todo conjunto que contém dois vetores iguais é \text{LI}.”
Vamos analisar: se um conjunto contém dois vetores iguais, por exemplo \mathbf{v} e outra cópia \mathbf{v}, então já existe uma combinação linear não trivial que dá zero:
1\cdot\mathbf{v} + (-1)\cdot\mathbf{v} = \mathbf{0},
os coeficientes 1 e -1 não são todos zero. Isso mostra que o conjunto é \text{LD}, não \text{LI}. Portanto a afirmação que diz que tal conjunto é \text{LI} é falsa.
Contra‑exemplo explícito e bem simples: no \mathbb{R}^2 considere o conjunto
\{\,(1,0),\,(1,0)\,\}.
Tomando coeficientes 1 e -1 obtemos
1\cdot(1,0) + (-1)\cdot(1,0) = (0,0),
logo o conjunto é \text{LD}. Conclusão: afirmação 3 é falsa.

Passo 7

Afirmação 4: “Todo conjunto que contém o vetor nulo é \text{LI}.”
Análise: se um conjunto contém o vetor nulo \mathbf{0}, então existe imediatamente uma combinação linear não trivial que soma zero: escolher coeficiente 1 na entrada do vetor nulo e 0 para os outros vetores produz
1\cdot\mathbf{0} + 0\cdot(\text{outros}) + \cdots = \mathbf{0},
onde o conjunto de coeficientes não é todo zero (pelo menos o primeiro é 1). Logo qualquer conjunto que contenha \mathbf{0} é \text{LD}, não \text{LI}. Portanto a afirmação é falsa.
Contra‑exemplo imediato: o conjunto \{\mathbf{0}\} (só o vetor nulo) é dependente, pois 1\cdot\mathbf{0}=\mathbf{0} já é combinação não trivial. Assim afirmação 4 é falsa.

Passo 8

Resumo final e motivação: as duas primeiras afirmações são verdadeiras porque dependência/independência se propaga de forma óbvia entre subconjuntos e superconjuntos (se tem uma dependência dentro, o conjunto maior também depende; se o conjunto maior é independente, nenhum subconjunto pode ser dependente). As últimas duas são falsas por contra‑exemplos elementares: vetores repetidos e o vetor nulo criam combinações lineares não triviais que anulam, portanto implicam dependência.
Força aí — você já destrinchou o porquê de cada resposta e tem exemplos prontos para a prova!

Resposta

V
V
F
F

Exercícios relacionados